Ta có biểu thức:
$M = \frac{m^2 + 3m + 3}{m^2 + m + 1}$
Đặt $M = k$. Ta có:
$k = \frac{m^2 + 3m + 3}{m^2 + m + 1}$
$k(m^2 + m + 1) = m^2 + 3m + 3$
$km^2 + km + k = m^2 + 3m + 3$
$(k-1)m^2 + (k-3)m + (k-3) = 0 \quad (1)$
Để phương trình có no, ta xét các trường hợp:
`-` 
Trường hợp 1: $k-1 = 0 \Rightarrow k=1$.
Khi $k=1$, phương trình (1) trở thành:
$(1-1)m^2 + (1-3)m + (1-3) = 0$
$-2m - 2 = 0$
$-2m = 2$
$m = -1$
Vậy $k=1$ là một giá trị có thể của M.
`-`
Trường hợp 2: $k-1 \neq 0 \Rightarrow k \neq 1$.
Để phương trình (1) có nghiệm $m$:
$\Delta = (k-3)^2 - 4(k-1)(k-3)$
$\Delta = (k-3)[(k-3) - 4(k-1)]$
$\Delta = (k-3)(k-3-4k+4)$
$\Delta = (k-3)(-3k+1)$
`->` có nghiệm => $\Delta \ge 0$:
$(k-3)(-3k+1) \ge 0$
Xét dấu của tích $(k-3)(-3k+1)$:
Các nghiệm của tích là $k=3$ và $-3k+1=0 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$.
Ta có bảng xét dấu:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Khoảng giá trị của } k & k-3 & -3k+1 & (k-3)(-3k+1) \\
\hline
k < 1/3 & - & + & - \\
\hline
1/3 < k < 3 & - & - & + \\
\hline
k > 3 & + & - & - \\
\hline
\end{array}$$
=>để $(k-3)(-3k+1) \ge 0$, ta có $1/3 \le k \le 3$.
=>
Kết hợp cả hai trường hợp, ta thấy giá trị của $M$ nằm trong đoạn $[\frac{1}{3}, 3]$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ là $\frac{1}{3}$ và giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ là $3$.