Đáp án + Giải thích các bước giải:

Mỗi giờ trên đồng hồ tương ứng với góc $\dfrac{2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6}$ radian

$\Rightarrow$ Khi đồng hồ chỉ $4$ giờ thì kim giờ tạo với kim phút góc là $\dfrac{\pi}{6} \cdot 4 = \dfrac{2\pi}{3}$ radian 

Ta có: Vận tốc góc của kim giờ trong $1$ giờ là $\dfrac{\pi}{6}$ radian, vận tốc góc của kim phút trong $1$ giờ là $2\pi$ radian

$\Rightarrow$ Giả sử lấy kim phút vào thởi điểm $4$ giờ làm mốc thì góc của kim giờ sau với kim phút là $\dfrac{2\pi}{3}$ radian

Gọi $t($giờ$)$ là thời gian ít nhất để $2$ kim vuông góc với nhau $(t > 0)$

$\Rightarrow$ Góc của kim phút và kim giờ so với mốc lúc này lần lượt là $2\pi t$ radian và $\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6}t$ radian

Vì $t$ là nhỏ nhất nên hiệu số góc giữa kim phút và kim giờ là $\dfrac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6}t - 2\pi t = \dfrac{\pi}{2}$

$\Leftrightarrow -\dfrac{11\pi}{6}t = -\dfrac{1}{6}\pi$

$\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{11}($ giờ$)$

Quãng đường đầu mút kim giờ đi được là: $6 \cdot \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{1}{11} = \dfrac{\pi}{11}(cm)$

Quãng đường đầu mút kim phút đi được là: $11 \cdot 2\pi \cdot \dfrac{1}{11} = 2\pi (cm)$

Vậy tổng quãng đường hai đầu mút kim giờ và kim phút đi được là $2\pi + \dfrac{\pi}{11} = \dfrac{23\pi}{11}cm$