`1)` $2x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 2 = 0$
-> phương trình đối xứng bậc 4.
Chia cả hai vế cho $x^2$:
$2x^2 - 5x + 6 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$
$\Leftrightarrow 2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0$.
Đặt $y = x + \frac{1}{x}$.
$\Rightarrow y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Thay vào phương trình:
$2(y^2 - 2) - 5y + 6 = 0$
$\Leftrightarrow 2y^2 - 4 - 5y + 6 = 0$
$\Leftrightarrow 2y^2 - 5y + 2 = 0$.
$\Delta = (-5)^2 - 4.2.2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$y_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
`-` Trường hợp 1:} $y = \frac{1}{2}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2x^2 + 2 = x$
$\Leftrightarrow 2x^2 - x + 2 = 0$.
$\Delta = (-1)^2 - 4.2.2 = 1 - 16 = -15 < 0$.
Phương trình vô nghiệm thực.
`-` Trường hợp 2: $y = 2$
$x + \frac{1}{x} = 2$
$\Leftrightarrow x^2 + 1 = 2x$
$\Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$
$\Leftrightarrow (x-1)^2 = 0$
$\Leftrightarrow x = 1$.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.
`2)` $(x+1)^4 + (x+3)^4 = 2$}
Đặt $y = x+2$.
Khi đó $x+1 = y-1$ và $x+3 = y+1$.
Phương trình trở thành:
$(y-1)^4 + (y+1)^4 = 2$
$*(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$
$*(y+1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$
$=>(y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) = 2$
$\Leftrightarrow 2y^4 + 12y^2 + 2 = 2$
$\Leftrightarrow 2y^4 + 12y^2 = 0$
$\Leftrightarrow 2y^2(y^2 + 6) = 0$.
Vì $y^2+6 > 0$ với mọi $y$ thực.
Nên $2y^2 = 0 \Leftrightarrow y = 0$.
Thay $y = x+2$ trở lại:
$x+2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất $x=-2$.

`3)` $x(x+1)(x+2)(x+3) = 24$
->Nhóm các thừa số:
$[x(x+3)] \cdot [(x+1)(x+2)] = 24$
$\Leftrightarrow (x^2+3x) \cdot (x^2+3x+2) = 24$.
Đặt $y = x^2+3x$.
Phương trình trở thành:
$y(y+2) = 24$
$\Leftrightarrow y^2 + 2y - 24 = 0$.
$\Delta' = 1^2 - 1(-24) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$y_1 = -1 - 5 = -6$.
$y_2 = -1 + 5 = 4$.
`-` Trường hợp 1: $y = -6$
$x^2+3x = -6$
$\Leftrightarrow x^2+3x+6 = 0$.
$\Delta = 3^2 - 4(1)(6) = 9 - 24 = -15 < 0$.
Phương trình vô nghiệm thực.
`-` Trường hợp 2: $y = 4$
$x^2+3x = 4$
$\Leftrightarrow x^2+3x-4 = 0$.
$\Delta = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$.
$x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Vậy, phương trình có các nghiệm $x=-4$ và $x=1$.

`4)` $(x+2)(x-3)(x+4)(x-6) + 6x^2 = 0$
$[ (x+2)(x-6) ] \cdot [ (x-3)(x+4) ] + 6x^2 = 0$
$(x^2 - 4x - 12) \cdot (x^2 + x - 12) + 6x^2 = 0$.
Đặt $y = x^2 - 12$.
Khi đó $(y-4x)(y+x)+6x^2=0$
$y^2 + xy - 4xy - 4x^2 + 6x^2 = 0$
$y^2 - 3xy + 2x^2 = 0$.
->Chia cả hai vế cho $x^2$ (nếu $x \neq 0$):
$(\frac{y}{x})^2 - 3(\frac{y}{x}) + 2 = 0$.
Đặt $t = \frac{y}{x}$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
$(t-1)(t-2) = 0$.
$\Rightarrow t_1 = 1$ hoặc $t_2 = 2$.
`-`Trường hợp 1: $t = 1 \Leftrightarrow \frac{y}{x} = 1 \Leftrightarrow y = x$.
$x^2 - 12 = x$
$\Leftrightarrow x^2 - x - 12 = 0$.
$\Delta = (-1)^2 - 4.1.-12 = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$.
`-` Trường hợp 2: $t = 2 \Leftrightarrow \frac{y}{x} = 2 \Leftrightarrow y = 2x$.
$x^2 - 12 = 2x$
$\Leftrightarrow x^2 - 2x - 12 = 0$.
$\Delta' = (-1)^2 - 1.(-12) = 1 + 12 = 13$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{1} = 1 \pm \sqrt{13}$.
Vậy, phương trình có các nghiệm: $x=-3$, $x=4$, $x=1+\sqrt{13}$, $x=1-\sqrt{13}$.