Đáp án:

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là $\overline{ab}$, trong đó $a$ là chữ số hàng chục và $b$ là chữ số hàng đơn vị.
Điều kiện: $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.
Theo đề bài, tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là $\frac{2}{3}$:
$\frac{a}{b} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3a = 2b \quad (1)$
Vì $a, b$ là các chữ số, từ $(1)$ => $a$ phải là số chẵn và $b$ phải chia hết cho 3.
Các cặp $(a,b)$ thỏa mãn $3a=2b$ và điều kiện của chữ số là:
+Nếu $a=2 \Rightarrow 3.2=2b \Rightarrow 6=2b \Rightarrow b=3$. Số là $23$.
+Nếu $a=4 \Rightarrow 3.4=2b \Rightarrow 12=2b \Rightarrow b=6$. Số là $46$.
+Nếu $a=6 \Rightarrow 3.6=2b \Rightarrow 18=2b \Rightarrow b=9$. Số là $69$.
+Nếu $a=8 \Rightarrow 3.8=2b \Rightarrow 24=2b \Rightarrow b=12$ (loại vì $b$ là chữ số).
->Vậy số đã cho có thể là $23, 46, 69$.
`-` Nếu viết thêm chữ số 1 xen vào giữa số đã cho, ta được số mới có dạng $\overline{a1b}$.
Giá trị của số đã cho là $10a + b$.
Giá trị của số mới là $100a + 10 \times 1 + b = 100a + 10 + b$.
Theo đề bài, số mới lớn hơn số đã cho là $370$ đơn vị:
$(100a + 10 + b) - (10a + b) = 370$
$100a + 10 + b - 10a - b = 370$
$90a + 10 = 370$
$90a = 370 - 10$
$90a = 360$
$a = \frac{360}{90}$
$a = 4$.
Thay $a=4$ vào phương trình $(1)$:
$3.4 = 2b$
$12 = 2b$
$b = 6$.
=>Chữ số hàng chục là $a=4$, chữ số hàng đơn vị là $b=6$. (thỏa đk)
Số đã cho là $46$.