Đặt $P = 2a^2 + 2a + 1$. $P$ là số nguyên tố

Ta có:

$4a^3 + b + c = abc \Leftrightarrow 4a^3 = abc - b - c$

Xét:

$(ab - 1)(ac - 1) = a^2bc - ab - ac + 1$

$= a(abc) - ab - ac + 1$

$= a(4a^3 + b + c) - ab - ac + 1$

$= 4a^4 + ab + ac - ab - ac + 1$

$= 4a^4 + 1$

Mà:

$4a^4 + 1 = (4a^4 + 4a^2 + 1) - 4a^2 = (2a^2 + 1)^2 - (2a)^2$

$= (2a^2 - 2a + 1)(2a^2 + 2a + 1)$

Suy ra:

$(ab - 1)(ac - 1) = (2a^2 - 2a + 1) \cdot P$

$\Rightarrow (ab - 1)(ac - 1) \vdots P$

Vì $P$ là số nguyên tố nên:

1. $ac - 1 \vdots P$

2. $ab - 1 \vdots P$

TH1: $ac - 1 \vdots P$

Nếu $ac - 1 > 0$, thì $ac - 1 \geq P$.

$\Rightarrow ac - 1 \geq 2a^2 + 2a + 1$

$\Rightarrow ac \geq 2a^2 + 2a + 2$

$\Rightarrow c \geq 2a + 2 + \frac{2}{a}$

Mà $a \geq c$ (giả thiết)

$\Rightarrow a \geq 2a + 2 + \frac{2}{a} \Rightarrow 0 \geq a + 2 + \frac{2}{a}$.

 vô lý vì $a > 0$.

(Nếu $ac-1=0 \Rightarrow a=c=1 \Rightarrow P=5$.  $4+b+1=b \Rightarrow 5=0$, vô lý).

TH2: $ab - 1 \vdots P$

Ta có:

$\begin{cases} ab - 1 \vdots P \\ 2a^2 + 2a + 1 \vdots P \end{cases}$

$\Rightarrow (ab - 1) + (2a^2 + 2a + 1) \vdots P$

$\Rightarrow ab + 2a^2 + 2a \vdots P$

$\Rightarrow a(b + 2a + 2) \vdots P$

Vì $P$ là số nguyên tố, nên $a \vdots P$ hoặc $(b + 2a + 2) \vdots P$.

Ta có $P = 2a^2 + 2a + 1 = a(2a+2)+1 > a$ (vì $a \ge 1$).

Do đó $a$ không chia hết cho $P$.

Vậy, $b + 2a + 2$ phải chia hết cho $P$.

là $2a + b + 2$ chia hết cho $2a^2 + 2a + 1$. (đpcm)