a)

 $x^2 - 2 \cdot (m+1)x + 2m + 10 = 0$

$\Delta' = (b')^2 - ac = -(m+1)^2 - (2m+10)$

$\Delta' = m^2 + 2m + 1 - 2m - 10$

$\Delta' = m^2 - 9$

$\Leftrightarrow m^2 - 9 \ge 0$

$\Leftrightarrow m \le -3$ hoặc $m \ge 3$

b) 

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \cdot (m+1) \\ x_1x_2 = 2m+10 \end{cases}$

$P = (x_1^2 + 2 \cdot x_1x_2 + x_2^2) + 4 \cdot x_1x_2$

$P = (x_1+x_2)^2 + 4 \cdot x_1x_2$

$P = (2 \cdot (m+1))^2 + 4 \cdot (2m+10)$

$P = 4 \cdot (m^2 + 2m + 1) + 8m + 40$

$P = 4m^2 + 8m + 4 + 8m + 40$

$P = 4m^2 + 16m + 44$

Xét $P(m) = 4m^2 + 16m + 44 = 4 \cdot (m^2 + 4m + 4) + 28 = 4 \cdot (m+2)^2 + 28$

Vì $(m+2)^2 \ge 0$ nên $P \ge 28$. Dấu "=" xảy ra khi $m=-2$

 $m=-2$ không thỏa mãn

- Với $m \le -3$: $m+2 \le -1 \Rightarrow (m+2)^2 \ge 1$

    $\Rightarrow P = 4 \cdot (m+2)^2 + 28 \ge 4 \cdot 1 + 28 = 32$

    Dấu "=" xảy ra khi $m+2 = -1 \Leftrightarrow m = -3$ (thỏa mãn)

- Với $m \ge 3$: $m+2 \ge 5 \Rightarrow (m+2)^2 \ge 25$

    $\Rightarrow P = 4 \cdot (m+2)^2 + 28 \ge 4 \cdot 25 + 28 = 128$

    Dấu "=" xảy ra khi $m+2 = 5 \Leftrightarrow m = 3$ (thỏa mãn)

Vậy, $P_{min} = 32$ khi $m = -3$