Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn, $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, diện tích $S$, bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.
`a)` Là Định lí Cosin
Kẻ đường cao $BH \perp AC$ ($H \in AC$).
Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$:
$BH = c \sin A$
$AH = c \cos A$
Trong $\triangle BHC$ vuông tại $H$:
$BC^2 = BH^2 + HC^2$
$a^2 = (c \sin A)^2 + (AC - AH)^2$
$a^2 = c^2 \sin^2 A + (b - c \cos A)^2$
$a^2 = c^2 \sin^2 A + b^2 - 2bc \cos A + c^2 \cos^2 A$
$a^2 = b^2 + c^2 (\sin^2 A + \cos^2 A) - 2bc \cos A$
Vì $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, ta có:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
(Tương tự cho $b^2$ và $c^2$)

`b)` Là Định lí Sin
Kẻ đường cao $BH \perp AC$ ($H \in AC$).
Diện tích $S = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} b \cdot c \sin A$.
$\Rightarrow S = \frac{1}{2}bc \sin A$.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tâm $O$ bán kính $R$.
Kẻ đường kính $BD$.
$\angle BCD = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Trong $\triangle BCD$ vuông tại $C$:
$\sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}$.
Mà $\angle D = \angle A$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$).
$\Rightarrow \sin A = \frac{a}{2R}$
$\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R$.
Tương tự, ta chứng minh được $\frac{b}{\sin B} = 2R$ và $\frac{c}{\sin C} = 2R$.
Vậy $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.

`c)`
Kẻ đường cao $BH \perp AC$ ($H \in AC$).
Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$:
$BH = AB \sin A = c \sin A$.
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}$
$S = \frac{1}{2} \times AC \times BH$
$S = \frac{1}{2} \times b \times (c \sin A)$
$S = \frac{1}{2}bc \sin A$.
(Tương tự cho $S = \frac{1}{2}ac \sin B$ và $S = \frac{1}{2}ab \sin C$)