`#0409`

Xét phương trình `:` `mx^2-2(m-1)x+m-3=0` `(1)` `(m\ne0)`

Xét `\Delta=[-2(m-1)]^2-4 . m . (m-3)=(2m-2)^2-4m^2+12m=4m^2-8m+4-4m^2+12m=4m+4`

Để phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thì `:`

`\Delta>0`

`4m+4>0`

`4m> -4`

`m> -1`

Xét `x_1^2+x_2^2=3`

`(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3` `(** **)`

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có `:`

$\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{2m-2}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m} \end{cases}$ `(**)`

Thay `(**)` vào `(** **)` ta có `:`

`((2m-2)/m)^2-2 . (m-3)/m=3`    

`(4m^2-8m+4)/(m^2)-(2m-6)/m=3`

`(4m^2-8m+4-m(2m-6))/(m^2)=3`

`4m^2-8m+4-2m^2+6m=3m^2`

`2m^2-2m+4-3m^2=0`

`-m^2-2m+4=0`

`m^2+2m-4=0`

`m^2+2m+1-5=0`

`(m+1)^2=5`

`th_1 : (m+1)^2=(\sqrt{5})^2`

`m+1=\sqrt{5}`

`m=-1+sqrt{5}` `(tm)`

`th_2 : (m+1)^2=(-\sqrt{5})^2`

`m+1=-\sqrt{5}`

`m=-1-sqrt{5}` `(ktm)`

Vậy `m=-1+\sqrt{5}` thỏa mãn yêu cầu đề bài.