Đáp án: $ f(2023)+f(-2023)=10$

Giải thích các bước giải:

Vì $f(x)$ chia $x^2-4$ được $3x$ và còn dư

$\to f(x)=(x^2-4)\cdot 3x +ax+b$

Ta có: $f(x)$ chia $x-2$ dư $11$

$\to f(x)-11$ chia hết cho $x-2$

$\to f(x)-11$ có nghiệm $x=2$

$\to f(2)-11=0$

$\to f(2)=11$

Lập luận tương tự $\to f(-2)=-1$

$\to \begin{cases}(2^2-4)\cdot3x +a\cdot 2+b=11\\((-2)^2-4)\cdot3x +a\cdot (-2)+b=-1\end{cases}$

$\to \begin{cases}2a+b=11\\-2a+b=-1\end{cases}$

$\to \begin{cases}2a+b-2a+b=11-1\\-2a+b=-1\end{cases}$

$\to \begin{cases}2b=10\\-2a+b=-1\end{cases}$

$\to \begin{cases}b=5\\-2a+5=-1\end{cases}$

$\to \begin{cases}b=5\\a=3\end{cases}$

$\to f(x)=(x^2-4)\cdot3x +3x+5$

$\to f(x)=3x^3-9x+5$

$\to f(2023)+f(-2023)=(3\cdot 2023^3-9\cdot 2023+5)+(3\cdot (-2023)^3-9\cdot (-2023)+5)$

$\to f(2023)+f(-2023)=(3\cdot 2023^3-9\cdot 2023+5)+(-3\cdot 2023^3+9\cdot 2023+5)$

$\to f(2023)+f(-2023)=10$