Đáp án + Giải thích các bước giải:

Giả sử $\sqrt{7}$ là số hữu tỷ, tức là tồn tại $m, n \in \mathbb{Z}$ sao cho $\sqrt{7} = \dfrac{m}{n}$ và $\dfrac{m}{n}$ tối giản.

$\Rightarrow 7 = \dfrac{m^2}{n^2}$

$\Rightarrow m^2 = 7n^2 (*)$

Vì $m, n \in \mathbb{Z}$ nên $m^2$ chia hết cho $7$

Mà $7$ là số nguyên tố $\Rightarrow m$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow m = 7k$ với $k \in \mathbb{Z}$

Thay $m = 7k$ vào $(*)$, ta được:

$49k^2 = 7n^2$

$n^2= 7k^2$

Vì $n, k \in \mathbb{Z}$ nên $n^2$ chia hết cho $7$.

Mà $7$ là số nguyên tố $\Rightarrow n$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow m, n$ có ước chung là $7$

Theo đề bài, $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản

$\Rightarrow$ Mâu thuẫn

$\Rightarrow \sqrt{7}$ là số vô tỷ