Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt hình chóp $S.ABCD$ vào hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho tâm $O$ của hình chóp trùng với gốc toạ độ, tia $OB$ trùng với phần dương của trục hoành, tia $OA$ trùng với phần dương của trục tung, trục cao song song với $SH$ như ảnh dưới

Ta có: $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^\circ$

$\Rightarrow \triangle ABC$ là tam giác đều

$\Rightarrow \begin {cases} AC = a \\ OB = OD = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\end {cases}$

$\Rightarrow A\bigg(0; \dfrac{a}{2}; 0\bigg), B \bigg(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; 0; 0\bigg), C\bigg(0; -\dfrac{a}{2}; 0\bigg), D\bigg(-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; 0; 0\bigg)$

$\Rightarrow H \bigg(0; \dfrac{a}{4}; 0\bigg)$

$\Rightarrow BH = \dfrac{a\sqrt{13}}{4}$

Ta có: $SH \bot (ABCD) \Rightarrow BH$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow (SB, (ABC)) = \widehat{SBH} = 60^\circ$

$\Rightarrow SH = BH \tan 60^\circ = \dfrac{a\sqrt{39}}{4}$

$\Rightarrow S\bigg(0; \dfrac{a}{4}; \dfrac{a\sqrt{39}}{4}\bigg)$

$\Rightarrow I\bigg(-\dfrac{a\sqrt{3}}{4}; \dfrac{a}{8}; \dfrac{a\sqrt{39}}{8}\bigg)$

$\Rightarrow \begin {cases} \overrightarrow{SB} = \bigg(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; -\dfrac{a}{4}; -\dfrac{a\sqrt{39}}{4}\bigg) \\ \overrightarrow{CI} = \bigg(-\dfrac{a\sqrt{3}}{4}; \dfrac{5a}{8}; \dfrac{a\sqrt{39}}{8}\bigg) \end {cases}$

$\Rightarrow [\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{CI}] = \bigg(\dfrac{a^2\sqrt{39}}{8}; 0; \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\bigg)$

$\Rightarrow |[\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{CI}]| = \dfrac{a^2\sqrt{51}}{8}$

Mà $\overrightarrow{CB} = \bigg(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; \dfrac{a}{2}; 0\bigg)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CB} \cdot [\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{CI}] = \dfrac{a^3\sqrt{117}}{16}$

$\Rightarrow d(SB, CI) = \dfrac{|\overrightarrow{CB} \cdot [\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{CI}]|}{|[\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{CI}]|} = \dfrac{\frac{a^3\sqrt{117}}{16}}{\frac{a^2\sqrt{51}}{8}} = \dfrac{a^3\sqrt{117}}{2a^2\sqrt{51}} = \dfrac{a\sqrt{663}}{34}$