`-` Gọi số luống cà chua ban đầu của nhà Mai là $x$ (luống).
Gọi số cây cà chua trung bình trên mỗi luống ban đầu là $y$ (cây).
Đkiện: $x, y$ là các số nguyên dương.
Tổng số cây cà chua ban đầu trong vườn là $xy$ (cây).
`-` Trường hợp 1: Trồng thêm 8 luống và mỗi luống trồng ít đi 3 cây.
Số luống mới: $x+8$ (luống).
Số cây trên mỗi luống mới: $y-3$ (cây).
Tổng số cây mới: $(x+8)(y-3)$ (cây).
Theo đề bài, số cây toàn vườn sẽ ít đi 54 cây so với ban đầu:
$(x+8)(y-3) = xy - 54$
$xy - 3x + 8y - 24 = xy - 54$
$-3x + 8y - 24 = -54$
$-3x + 8y = -54 + 24$
$-3x + 8y = -30 \quad (1)$.
`-` Trường hợp 2: Giảm 4 luống nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây.
Số luống mới: $x-4$ (luống).
Số cây trên mỗi luống mới: $y+2$ (cây).
Tổng số cây mới: $(x-4)(y+2)$ (cây).
Theo đề bài, số cây toàn vườn tăng thêm 32 cây so với ban đầu:
$(x-4)(y+2) = xy + 32$
$xy + 2x - 4y - 8 = xy + 32$
$2x - 4y - 8 = 32$
$2x - 4y = 32 + 8$
$2x - 4y = 40 \quad (2)$.
Ta có hệ phương trình từ $(1)$ và $(2)$:
$\begin{cases} -3x + 8y = -30 \quad (1) \\ 2x - 4y = 40 \quad (2) \end{cases}$
$<=>\begin{cases} -3x + 8y = -30 \\ 2.(2x) - 2.(4y) = 2.40 \end{cases}$
$\iff \begin{cases} -3x + 8y = -30 \\ 4x - 8y = 80 \end{cases}$
$(-3x + 8y) + (4x - 8y) = -30 + 80$
$-3x + 4x = 50$
$x = 50$.
Thay $x = 50$ vào phương trình $(2)$ để tìm $y$:
$2(50) - 4y = 40$
$100 - 4y = 40$
$-4y = 40 - 100$
$-4y = -60$
$y = \frac{-60}{-4}$
$y = 15$.
VẬY:
Mảnh vườn nhà Mai ban đầu trồng $50$ luống cà chua.
Mỗi luống ban đầu trồng $15$ cây cà chua.