Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `-` Hàm số $y = x^4 - 2ax^2 + b$.
`-` Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
`->` $y' = 4x^3 - 4ax$.
`->` tìm các điểm cực trị, ta đặt $y' = 0$:
$4x^3 - 4ax = 0$
$4x(x^2 - a) = 0$.
Ptrình này có các nghiệm:
$x = 0$
$x^2 = a$.
Vì đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $(1; 2)$:
1.  $x = 1$ là một nghiệm của $y' = 0$.
    Thay $x = 1$ vào $y' = 0$:
    $4.(1).(1^2 - a) = 0$
    $1 - a = 0$
    $a = 1$.
2.  Điểm $(1; 2)$ thuộc đồ thị hàm số.
    Thay $x = 1$ và $y = 2$ vào phương trình hàm số $y = x^4 - 2ax^2 + b$:
    $2 = 1^4 - 2a(1)^2 + b$
    $2 = 1 - 2a + b$.
    Thay $a = 1$ vào ptrình này:
    $2 = 1 - 2(1) + b$
    $2 = 1 - 2 + b$
    $2 = -1 + b$
    $b = 3$.
Vậy, hàm số là $y = x^4 - 2x^2 + 3$.
Với $a = 1$, phương trình $y' = 0$ trở thành:
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x-1)(x+1) = 0$.
Các nghiệm là $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$.
`+` Với $x = 0$: $y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$. Điểm $A(0; 3)$.
`+` Với $x = 1$: $y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Điểm $B(1; 2)$.
`+` Với $x = -1$: $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Điểm $C(-1; 2)$.
`->` Để xác định loại cực trị (đại hay tiểu), tính đạo hàm bậc hai $y''$.
$y'' = 12x^2 - 4a = 12x^2 - 4$.
`+` Tại $x = 0$: $y''(0) = 12.(0)^2 - 4 = -4 < 0$. Vậy, điểm $A(0; 3)$ là điểm cực đại.
`+` Tại $x = 1$: $y''(1) = 12.(1)^2 - 4 = 8 > 0$. Vậy, điểm $B(1; 2)$ là điểm cực tiểu.
`+` Tại $x = -1$: $y''(-1) = 12.(-1)^2 - 4 = 8 > 0$. Vậy, điểm $C(-1; 2)$ là điểm cực tiểu.
Khoảng cách giữa điểm cực đại $A(0; 3)$ và điểm cực tiểu $B(1; 2)$ là $d_{AB}$.
$d_{AB} = \sqrt{(1-0)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Khoảng cách giữa điểm cực đại $A(0; 3)$ và điểm cực tiểu $C(-1; 2)$ là $d_{AC}$.
$d_{AC} = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
`->` Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được $1.41$.
Vậy, khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu là $\sqrt{2} \approx 1.41$.