Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt `A=(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b`

`->abc.A=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)`

`=ab(a-b)+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2`

`=ab(a-b)-(ca^2-b^2c)+(c^2a-bc^2)`

`=ab(a-b)-c(a^2-b^2)+c^2 (a-b)`

`=ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c^2(a-b)`

`=(a-b)[ab-c(a+b)+c^2]`

`=(a-b)(ab-ca-bc+c^2)`

`=(a-b)[(ab-bc)-(ac-c^2)]`

`=(a-b)[b(a-c)-c(a-c)]`

`=(a-b)(b-c)(a-c)`

Do đó `A=((a-b)(b-c)(a-c))/(abc)`

Đặt `B=c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)`

Nhân cả `2` vế của `B` với `(a-b)(b-c)(c-a)` được:

`(a-b)(b-c)(c-a)B=c(b-c)(c-a)+a(a-b)(c-a)+b(a-b)(b-c)`

`=bc^2-abc-c^3+ac^2+a^2c+a^2b-abc-a^3+ab^2-abc-b^3+b^2c`

`=(a^2c+abc+ac^2)+(a^2b+ab^2+abc)+(bca+b^2c+bc^2)-6abc-a^2-b^3-c^3`

`=ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+bc(a+b+c)-6abc-(a^3+b^3+c^3)`

`=(a+b+c)(ac+ab+bc)-6abc-[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc]`

`=(a+b+c)(ac+bc+ab)-6abc-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)-3abc`

`=-6abc-3abc=-9abc` `(`vì `a+b+c=0).`

Do đó `B=(-9abc)/((a-b)(b-c)(c-a))=(9abc)/((a-b)(b-c)(a-c))`

Như vậy

`A.B=((a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a))`

`=((a-b)(b-c)(a-c))/(abc) . (9abc)/((a-b)(b-c)(a-c)`

`=9.`

Chứng minh hoàn tất.