Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Bài `1.`

`a.`

`2(x+1)+1/(x-1)+2/(x-2)=0`

`2(x+1)+(x-2)/((x-1)(x-2))+(2(x-1))/((x-1)(x-2))=0`

`2(x+1)+(x-2+2(x-1))/((x-1)(x-2))=0`

`2(x+1)+(x-2+2x-2)/((x-1)(x-2)=0`

`2(x+1)+(3x-4)/((x-1)(x-2))=0`

`(2(x+1)(x-1)(x-2)+3x-4)/((x-1)(x-2))=0`

`(2(x^2-1)(x-2)+3x-4)/((x-1)(x-2)=0`

`((2x^2-2)(x-2)+3x-4)/((x-1)(x-2))=0`

`(2x^3-4x^2-2x+4+3x-4)/((x-1)(x-2))=0`

`(2x^3-4x^2+x)/((x-1)(x-2))=0`

`2x^3-4x^2+x=0`

`x(2x^2-4x+1)=0`

TH`1:` `x=0`

TH`2:` `2x^2-4x+1=0`    `(**)`

`->Delta=(-4)^2-4.2.1=16-8=8>0.`

Do đó phương trình `(**)` có `2` nghiệm phân biệt:

`x_1=(-(-4)+sqrt8)/(2.2)=(-4+2sqrt2)/4=(2(sqrt2-2))/4=(-2+sqrt2)/2`

`x_2=(-(-4)-sqrt8)/(2.2)=(-4-2sqrt2)/4=(2(-sqrt2-2))/4=(-2-sqrt2)/2`

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm `S={0;(-2+sqrt2)/2;(-2+sqrt2)/2}`

`b.`

`1/x^3=1/(x+1)^3+4`

`1/x^3-1/(x+1)^3-4=0`

`((x+1)^3)/(x^3 . (x+1)^3)-x^3/(x^3 . (x+1)^3)-4=0`

`((x+1)^3-x^3)/(x^3 . (x+1)^3)-4=0`

`(x^3+3x^2+3x+1-x^3)/(x^3 . (x+1)^3)-4=0`

`(3x^2+3x+1)/(x^3 . (x+1)^3)-4=0`

`(3x^2+3x+1-4x^3 . (x+1)^3)/(x^3 . (x+1)^3)=0`

`3x^2+3x+1-4x^3(x^3+3x^2+3x+1)=0`

`3x^2+3x+1-4x^6-12x^5-12x^4-4x^3=0`

`-4x^3+3x^2+3x+1-4x^6-12x^5-12x^4=0`

`-4x^3+3x^2+3x+1-4x^6-4x^5-8x^5+4x^4-8x^4-8x^4=0`

`(-4x^3-4x^2+4x)-(8x^4+8x^3-8x^2)-(x^2+x-1)-(4x^6+4x^5-4x^4)-(8x^5+8x^4-8x^3)=0`

`-4x(x^2+x-1)-8x^2(x^2+x-1)-(x^2+x-1)-4x^4(x^2+x-1)-8x^3(x^2+x-1)=0`

`(x^2+x-1)(-4x^4-8x^3-8x^2-4x-1)=0`

`(x^2+x-1)(4x^4+8x^3+8x^2+4x+1)=0`

`(x^2+x-1)[(4x^4+4x^2+2x^2)+(4x^3+4x^2+2x)+(2x^2+2x+1)]=0`

`(x^2+x-1)[2x^2(2x^2+2x+1)+2x(2x^2+2x+1)+(2x^2+2x+1)]=0`

`(x^2+x-1)(2x^2+2x+1)^2=0`

TH`1:` `x^2+x-1=0`

`->Delta=1^2-4.1.(-1)=1+4=5>0`

Do đó PT có `2` nghiệm phân biệt:

`x_1=(-1+sqrt5)/(2.1)=(-1+sqrt5)/2`

`x_2=(-1-sqrt5)/(2.1)=(-1-sqrt5)/2`

TH`2:` `(2x^2+2x+1)^2=0`

`2x^2+2x+1=0`

`->Delta=2^2-4.2.1=4-8=-4<0.`

Do đó PT vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm `S={(-1+sqrt5)/2;(-1-sqrt5)/2}`

Bài `2.`

Từ giả thiết `x+y+z=0,` ta lần lượt suy ra `{(x=-y-z),(y=-x-z),(z=-x-y):}`

Do đó `x^2-y^2-z^2=(-y-z)^2-y^2-z^2`

`=[-(y+z)^2]-y^2-z^2`

`=(y+z)^2-y^2-z^2`

`=y^2+2yz+z^2-y^2-z^2`

`=2yz`

Suy ra `(6x^2)/(x^2-y^2-z^2)=(6x^2)/(2yz)=(3x^2)/(yz)`

Làm tương tự ta cũng có:

`(6y^2)/(y^2-z^2-x^2)=(3y^2)/(xz)`

`(6z^2)/(z^2-x^2-y^2)=(3z^2)/(xy)`

Cộng theo vế ta được:

`(6x^2)/(x^2-y^2-z^2)+(6y^2)/(y^2-z^2-x^2)+(6z^2)/(z^2-x^2-y^2)`

`=(3x^2)/(yz)+(3y^2)/(xz)+(3z^2)/(xy)`

`=(3x^3)/(xyz)+(3y^3)/(xyz)+(3z^3)/(xyz)`

`=(3x^3+3y^3+3z^3)/(xyz)`

`=(3(x^3+y^3+z^3))/(xyz)`     `(1)`

Vì `x+y+z=0` nên: `x^3+y^3+z^3`

`=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz`

`=3xyz`

Thay lại vào `(1)` ta được `(3.3xyz)/(xyz)=9.`

Như vậy `sqrt((6x^2)/(x^2-y^2-z^2)+(6y^2)/(y^2-z^2-x^2)+(6z^2)/(z^2-x^2-y^2))`

`=sqrt9=3` là số nguyên.

Vậy bài toán được chứng minh.