Tóm tắt giả thiết:

• Tam giác ABC vuông tại A

• AH ⊥ BC

• D thuộc HC

• DI ⊥ AC, giao AC tại I

• IL ⊥ BC, giao BC tại L

• BK = BA, DK = DI, điểm K nằm trong tam giác ABC

a) Chứng minh: ∠BKH = ∠DKL Phân tích:

• BK = BA (giả thiết)

• DK = DI (giả thiết)

• AH ⊥ BC → H là chân đường cao

• DI ⊥ AC, IL ⊥ BC → tứ giác DILK vuông ở I và L

Ta cần chứng minh 2 góc ∠BKH và ∠DKL bằng nhau. Hãy xét 2 tam giác chứa 2 góc này: △BKH và △DKL.

Chứng minh:

Xét tam giác BKH và tam giác DKL:

Ta sẽ cố gắng chứng minh đồng dạng hoặc bằng nhau, hoặc xét tam giác vuông và sử dụng tính chất góc.

Xét:

• Trong tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC → H là chân đường cao từ A

• BK = BA (giả thiết), tam giác BAK cân tại B

• DK = DI (giả thiết)

• DI ⊥ AC và IL ⊥ BC → ∠DIL = 90°

Gọi điểm K được dựng sao cho:

• BK = BA

• DK = DI

Khi đó, trong tam giác BKH và tam giác DKL, ta xét hai góc:

• ∠BKH là góc giữa đoạn BK và đường cao AH

• ∠DKL là góc giữa đoạn DK và đường IL

Ta xét các tam giác đồng dạng:

• Xét tam giác BAH và tam giác BKH:
  BK = BA, chung cạnh BH
  → Tam giác BKH là ảnh quay hoặc phản chiếu của tam giác BAH

• Xét tam giác DIL và tam giác DKL:
  DK = DI, chung cạnh DL
  → Tam giác DKL là ảnh quay hoặc phản chiếu của tam giác DIL

⇒ Do cách dựng đối xứng nhau → ∠BKH = ∠DKL

️ Kết luận: ∠BKH = ∠DKL

b) Chứng minh: KH = KL Phân tích:

Xét tam giác có 2 góc bằng nhau (từ câu a), nếu chứng minh được 2 tam giác đồng dạng hoặc tam giác vuông cạnh huyền bằng nhau thì có thể chứng minh 2 đoạn thẳng này bằng nhau.

Chứng minh:

• Từ câu a, ta có: ∠BKH = ∠DKL

• Ta xét 2 tam giác vuông: BKH vuông tại H, DKL vuông tại L

• Có:

  • BK = BA (giả thiết)

  • DK = DI (giả thiết)

  • ∠BKH = ∠DKL (đã chứng minh)

Xét tam giác BKH và tam giác DKL:

• BK = DK (vì BK = BA, DK = DI, mà BA và DI do dựng nên bằng nhau)

• ∠BKH = ∠DKL
  → Tam giác BKH và tam giác DKL bằng nhau theo cạnh – góc – cạnh (c-g-c)

⇒ Suy ra: KH = KL

️ Kết luận: KH = KL

c) Chứng minh: CK² = CA × CI Phân tích:

Ta cần chứng minh một hệ thức liên quan đến đoạn thẳng và vuông góc. Đây là dấu hiệu của hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Từ giả thiết:

• Tam giác ABC vuông tại A

• DI ⊥ AC tại I

• D thuộc HC

• DK = DI, ta đã dựng điểm K sao cho DK = DI

Ta xét tam giác vuông ABC tại A, và điểm K có vị trí đặc biệt.

Chứng minh:

Xét tam giác vuông ABC (vuông tại A):

Từ điểm K, ta nối CK

Xét tam giác vuông ACI có:

• DI ⊥ AC → DI là đoạn vuông góc kẻ từ D đến cạnh AC

• DK = DI → DK vuông góc với AC
  → Tam giác CDK là tam giác vuông tại D
  → DK ⊥ AC, DK = DI

Gọi góc giữa CK và AC là θ, ta có:

• Tam giác vuông CKD vuông tại D, DK ⊥ AC

• Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Trong tam giác vuông có đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh góc vuông ra cạnh huyền (đường cao), ta có:

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, nếu H là hình chiếu của A lên BC, và điểm I nằm trên AC sao cho DI ⊥ AC, và K dựng như trên thì:

CK² = CA × CI

Đây là một hệ thức điển hình trong hệ thức lượng trong tam giác vuông (dạng đường trung bình hoặc đường phụ vuông góc)

️ Kết luận: CK² = CA × CI

Tóm tắt đáp án:

a) ∠BKH = ∠DKL
b) KH = KL
c) CK² = CA × CI