Qua `C` kẻ đường thẳng song song với `PQ` cắt `AD, AB` lần lượt tại `I,G`

Vì ` HQ //// CI` nên  `(HQ)/(IC) = (AH)/(AI)`

Vì ` HP //// GI` nên  `(PH)/(GI) = (AH)/(AI)`

Suy ra `(PH)/(GI) = (HQ)/(IC)` Mà `PH = HQ` nên `GI = IC` hay `I` là trung điểm `CG`

Hơn nữa, `M` là trung điểm `BC` theo giả thiết vì thế `MI` là đường trung bình tam giác `BCG`

`=> MI //// BQ => MI bot HC` (do `HC bot BQ`)

Xét tam giác `HCI` có `MI bot HC, CM  bot HI => M` là trực tâm nên `HM bot CG`

Lại có `CG //// PQ ` do đó `HM bot PQ ` bởi vậy tam giác `MPQ` cân tại `P` do `PQ` vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

__________________________________

Chứng minh định lý tỉ số đồng dạng trong tam giác (sgk kntt toán 8 tập 2 trang 81) dựa trên định lý Thales (tập 1 trang 78), nên mình chứng minh định lý Thàles trước. Bạn đọc các bài này trước xong xem cách chứng minh sau nhé. Xem rồi thì tự áp dụng vào bài trên nếu không muốn dùng kiến thức chưa học đến.

Trong tam giác `ABC` có `EF //// BC` . Kẻ `CH bot EF` tại `H` ; `BG bot EF` tại `G`

Kẻ `FJ bot AE, EI bot AF`

`=> BG //// HC` mà `EF //// BC => GHCB` là hình bình hành `=> HC = BG`

`=> 1/2 * EF * HC = 1/2 * EF * BG`

`=> S_(CEF) = S_(BEF) => (S_(AEF))/(S_(CEF)) =(S_(AEF))/(S_(BEF)) `

`=> (1/2 * JF * AE)/( 1/2 * JF * BE) = (1/2 * IE * AF)/(1/2 * IE * FC)`

`=> (AE)/(BE) = (AF)/(FC) ` (định lý Thàles thuận)

Các biến thể : `1 + (AE)/(BE) = 1 + (AF)/(FC)`

`=> (AB)/(BE) = (AC)/(FC) => (BE)/(AB) = (FC)/(AC)`

Tiếp tục chứng minh định lý , bạn có thể tự chứng minh theo HĐ2 trang 80 (tập 2)

Qua `F` kẻ đường thẳng song song với `AB` cắt `BC` tại `K`

Xét tứ giác `EFKB` có: `FK //// BE; AF //// BK => EFKB` là hình bình hành

Vì `FK //// AB` nên theo định lý Thàles thì `(BK)/(BC) = (AF)/(AC)`

Có `EF = BK` do `EFKB` là hình bình hành `=> (EF)/(BC) = (AF)/(AC) `

Mà `(AF)/(AC) = (AE)/(AB)  (EF //// BC)`

Do đó `(AF)/(AC) = (AE)/(AB) = (EF)/(BC)`

Chứng minh tính chất đường trung bình (bài tiếp theo của bài Thàles)

Giả sử tam giác `ABC` có `E,F` lần lượt là trung điểm `AB, AC`

`=> (AE)/(BE) = (AF)/(CF) = 1` nên theo định lý Thàles đảo thì `EF //// BC`

Gọi `K` là trung điểm `BC => BK = CK = (BC)/2` Mà `EF = BK => EF = (BC)/2`

Còn lại đều là kiến thức lớp dưới, còn gì không hiểu thì hỏi nhe.