Đáp án: `+` Giải thích các bước giải:

Đặt \( a = \sqrt{1 + x} \), \( b = \sqrt{1 - x} \) với \( |x| < 1 \) và \( x \neq 0 \). Khi đó:

`a^2 + b^2 = 2,  a^2 - b^2 = 2x, ab = \sqrt{1 - x^2}`

Từ phương trình đã cho:

`\frac{a + b}{a - b} = \sqrt{2}`

`\Rightarrow a + b = \sqrt{2}(a - b)`

`\Rightarrow a(1 - \sqrt{2}) = -b(1 + \sqrt{2})`

`\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = - (1 + \sqrt{2})^2 = -3 - 2\sqrt{2}`

`=> \frac{a^2}{b^2} = \frac{1 + x}{1 - x} = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 17 + 12\sqrt{2}`

`=> \Rightarrow \frac{1 + x}{1 - x} = 17 + 12\sqrt{2}`

Giải phương trình:

`1 + x = (17 + 12\sqrt{2})(1 - x)`

`1 + x = 17 + 12\sqrt{2} - 17x - 12\sqrt{2}x`

`18x + 12\sqrt{2}x = 16 + 12\sqrt{2}`

`x(18 + 12\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2}`

`x  = \frac{2(4 + 3\sqrt{2})}{3(3 + 2\sqrt{2})}`

`x = \frac{2(4 + 3\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}{3(9 - 8)}`

`x = \frac{2\sqrt{2}}{3}`

Suy ra, ta có: `\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3} - 1}{\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1}`

`= \frac{2\sqrt{2} - 3}{2\sqrt{2} + 3}`

`= \frac{(2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} - 3)}{(2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} - 3)}`

`= \frac{8 - 12\sqrt{2} + 9}{8 - 9}`

`= \frac{17 - 12\sqrt{2}}{-1}`

`= 12\sqrt{2} - 17(đpcm)`