Gọi \( A = (9 + 4\sqrt{5})^{2025} + (9 - 4\sqrt{5})^{2025} \)

Vì \( 0 < 9 - 4\sqrt{5} < 1 \Rightarrow 0 < (9 - 4\sqrt{5})^{2025} < 1 \)

`=>` $\left\lfloor (9 + 4\sqrt{5})^{2025} \right\rfloor = A - 1 $

Ta chứng minh `A` là số nguyên :

Vì \( 9 + 4\sqrt{5} \) và \( 9 - 4\sqrt{5} \) là nghiệm của phương trình `x^2-18x+1`

`=>` Chúng là hai số liên hợp

Khi đó tổng $A = (9 + 4\sqrt{5})^{2025} + (9 - 4\sqrt{5})^{2025} $ là số nguyên 

Do đó tổng hai lũy thừa bậc lẻ của hai số liên hợp có dạng \( a + b\sqrt{5} \) và \( a - b\sqrt{5} \) sẽ triệt tiêu phần chứa căn. 

Vì \( 0 < (9 - 4\sqrt{5})^{2025} < 1 \) nên:

$A = \left\lfloor (9 + 4\sqrt{5})^{2025} \right\rfloor + \underbrace{(9 - 4\sqrt{5})^{2025}}_{<1} \Rightarrow \left\lfloor (9 + 4\sqrt{5})^{2025} \right\rfloor = A - 1 $

Vì \( A \in \mathbb{Z} \) nên \( \left\lfloor (9 + 4\sqrt{5})^{2025} \right\rfloor \) là số nguyên nhỏ hơn \( A \).

`=>` $\left\lfloor (9 + 4\sqrt{5})^{2025} \right\rfloor = A - 1 $

Mà `A\in ZZ` nên `A` là số chẵn do :

\( A = a + b \), với \( a = x^n + y^n \) (trong đó \( x + y \) là chẵn, \( n \) lẻ nên tổng vẫn chẵn)

`=>` $\left\lfloor (9 + 4\sqrt{5})^{2025} \right\rfloor = \text{chẵn} - 1 = \text{số lẻ}. $

Vậy `[(9+4sqrt5)^2025]` là số lẻ