xét tam giác `ABC` có:

`AB+BC>AC(1)`

xét tam giác `ADB` có:

`AB+DA>DB(2)`

xét tam giác `ADC` có:

`AD+DC>AC(3)`

xét tam giác `BCD` có:

`BC+DC>BD(4)`

cộng vế theo vế `(1),(2),(3)` và `(4)` ta được:

`2(AB+BC+AD+DC)>2(AC+BD)`

`AB+BC+AD+DC>AC+BD`

`=>` tổng độ dài 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi của tứ giác

____________________

gọi `E` là giao của 2 đường chéo.

xét `\Delta BEC` có: `EB+EC>BC(5)`

xét `\Delta DEC` có: `ED+EC>DC(6)`

xét `\Delta AED` có: `AE+ED>AD(7)`

xét `\Delta AEB` có: `AE+EB>AB(8)`

cộng vế theo vế `(5),(6),(7),(8)` ta được:

`2(EB+EC+ED+AE)>BC+DC+AD+AB`

`EB+EC+ED+AE>(BC+DC+AD+AB)/2`

mà `EB+ED=BD` và `EA+EC=AC`

`=>BD+AC>(BC+DC+AD+AB)/2`

`=>` tổng độ dài 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác