Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu $70$:

Gọi $x(cm)$ là chiều rộng của hình chữ nhật $(x > 0)$

$\Rightarrow \dfrac{100}{x}(cm)$ là chiều dài của hình chữ nhật

Chu vi của hình chữ nhật là: $2\bigg(x + \dfrac{100}{x}\bigg)$

Đặt $P(x) = 2\bigg(x + \dfrac{100}{x}\bigg)$

$P'(x) = 2\bigg(1 - \dfrac{100}{x^2}\bigg)$

$P'(x) =0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{100}{x^2} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{100}{x^2} = 1$

$\Leftrightarrow x^2 = 100$

$\Leftrightarrow x = 10 \Rightarrow \dfrac{100}{x} = 10$

Bảng biến thiên: ảnh dưới

Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất khi chiều dài và chiều rộng của nó đều là $10cm$

Câu $71$:

Gọi $x, y(cm)$ là độ dài của $2$ cạnh góc vuông của tấm gỗ $(x, y > 0)$

$\Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2}$ là độ dài của cạnh huyền của tấm gỗ

Vì cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông nên $x, y < 60$

Theo đề bài, ta có:

$x + \sqrt{x^2 + y^2} =120$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 120 - x$

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 = 14400 - 240x + x^2$

$\Leftrightarrow y^2 = 14400 - 240x$

$\Leftrightarrow 240x = 14400 - y^2$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{14400 - y^2}{240}$

$\Rightarrow$ Diện tích của tấm gỗ là $\dfrac{xy}{2} = \dfrac{y(14400 - y^2)}{480}$

$= \dfrac{14400y - y^3}{480}$

$= 30y - \dfrac{y^3}{480}$

Xét $S(y) = 30y - \dfrac{y^3}{480}$

$S'(y) = 30 - \dfrac{y^2}{160}$

$S'(y) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{y^2}{160} = 30$

$\Leftrightarrow y^2 = 4800$

$\Leftrightarrow y = 40\sqrt{3}$

Bảng biến thiên: ảnh dưới

$\Rightarrow x = \dfrac{14400 - 4800}{240} = 40$

$\Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{40^2 + (40\sqrt{3})^2} = 80(cm)$

Vậy cạnh huyền của tấm gỗ là $80cm$