Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to AH^2=HB.HC=36$

$\to AH=6$

Vì $HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AC$

$\to ADHE$ là hình chữ nhật

$\to DE=AH$

$\to DE=6$

2.Gọi $AH\cap DE=O$

Vì $ADHE$ là hình chữ nhật

$\to OA=OH=DO=EO$

Xét $\Delta OMH,\Delta OMD$ có:

Chung $OM$

$\widehat{OHM}=\widehat{ODM}(=90^o)$

$OH=OD$

$\to \Delta OHM=\Delta ODM$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to MH=MD$

Lại có: $OD=OH$

$\to O, M\in$ trung trực $DH$

$\to OM$ là trung trực $DH$

$\to OM\perp DH$

$\to OM//AB$

Mà $O$ là trung điểm $AH$

$\to M$ là trung điểm $HB$

Tương tự: $N$ là trung điểm $HC$

3.Ta có:
$S_{DENM}=\dfrac12DE\cdot (DM+EN)=\dfrac12\cdot AH\cdot (\dfrac12HB+\dfrac12HC)=\dfrac12AH\cdot \dfrac12BC=\dfrac14AH\cdot BC=\dfrac14\cdot6\cdot (4+9) =\dfrac{39}2$