Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a$\bigg)$} \begin {cases} mx + 4y = 10 - m \\ x + my = 4 \end {cases} (*)$

Với $m = 0$, ta có $\begin {cases} 4y = 10 \\ x = 4 \end {cases}$

$\begin {cases} y = \dfrac{5}{2} \\x = 4 \end {cases}$

Vậy $m = 0$ thoả mãn đề bài

Với $m \ne 0$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

$\dfrac{m}{1} \ne \dfrac{4}{m}$

$m^2 \ne 4$

$m \ne \pm 2$

Xét phương trình $(1)$:

$mx + 4y = 10 - m$

$mx + m = 10 - 4y$

$x + 1 = \dfrac{10 - 4y}{m}$

$x = \dfrac{10 - 4y}{m} - 1$

Thay $x = \dfrac{10 - 4y}{m} - 1$ vào phương trình $(2)$, ta được:

$\dfrac{10 - 4y}{m} - 1 + my = 4$

$\dfrac{10 - 4y}{m} + my = 5$

$m^2y + 10 - 4y = 5m$

$m^2y - 4y = 5m - 10$

$y(m - 2)(m + 2) = 5(m - 2)$

$y(m + 2) = 5$

$y = \dfrac{5}{m + 2}$

Thay $y = \dfrac{5}{m + 2}$ vào $x = \dfrac{10 - 4y}{m} - 1$, ta được:

$x = \dfrac{10 - \frac{20}{m + 2}}{m} - 1$

$= \dfrac{10(m + 2) - 20}{m(m + 2)} - 1$

$= \dfrac{10m + 20 - 20}{m(m + 2)} - 1$

$= \dfrac{10m}{m(m + 2)} - 1$

$= \dfrac{10}{m + 2} - 1$

$= \dfrac{8 - m}{m + 2}$

Do đó với $m \ne 0$ và $\pm 2$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \bigg(\dfrac{8 - m}{m + 2}; \dfrac{5}{m + 2}\bigg)$

Để $x = y$ thì $\dfrac{8 - m}{m + 2} = \dfrac{5}{m + 2}$

$8 - m = 5$

$m = 3$

Vậy $m = 3$