Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{1$\bigg)$}$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB^2 + AC^2 = BC^2($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow AB^2 + 16^2 = 20^2$

$\Leftrightarrow AB^2 = 144$

$\Leftrightarrow AB = 12(cm)$

Mặt khác, ta có:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{AK \cdot BC}{2}$

$\Rightarrow AB \cdot AC = AK \cdot BC$

$\Leftrightarrow AK = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}= \dfrac{12 \cdot 16}{20} = 9,6(cm)$

Xét $\triangle ABK$ vuông tại $K$, ta có:

$AK^2 + BK^2 = AB^2 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow 9,6^2 + BK^2 = 12^2$

$\Leftrightarrow BK^2 = 51,84$

$\Leftrightarrow BK = 7,2(cm)$

$\textbf{2$\bigg)$}$ Xét $\triangle AEK$ và $\triangle AKB$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{AEK} = \widehat{AKB} (= 90^\circ) \\ \widehat{KAE} \text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AEK \backsim \triangle AKB (g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AK} = \dfrac{AK}{AB}$

$\Rightarrow AE \cdot AB = AK^2 (1)$

Xét $\triangle AFK$ và $\triangle AKC$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{AFK} = \widehat{AKC} (= 90^\circ) \\ \widehat{KAF} \text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AFK \backsim \triangle AKC (g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AF}{AK} = \dfrac{AK}{AC}$

$\Rightarrow AF \cdot AC = AK^2 (2)$

Lấy $(1) + (2)$, ta được $AE \cdot AB + AF \cdot AC = 2AK^2$