a) ...

b)

BEDF bình hành -> BE//DF

Xét t/g ADQ và CBP -> AD=BC ; ∠DAC=∠BCA (góc so le trong AD//BC) ; ∠AQD=∠CPB (so le trong BE//DF)

-> bằng nhau (g-c-g)

-> AQ=CP (cạnh tương ứng) mà AQ=AP+PQ ; CP=CQ+PQ

-> AP=CQ (1)

Xét t/g AEP và ADQ -> EP//DQ (BE//DF)

-> đồng dạng 

-> AE/AD=AP/AQ

Mà AE=1/2 AD (E trung điểm AD)

-> AP=1/2

-> P trung điểm AQ

-> AP=PQ(2)

Từ (1);(2) -> Đpcm

c)

Định lý đường phân giác

Với t/g ADC -> AD/AC=DM/DC

Với t/g ABC -> BC/AC=NB/NA

Mà AD=BC -> DM/DC=NB/NA

Mà DM+DC=CD=AB=NB+NA

-> đồng tỉ lệ + cùng tổng

-> DM=BN ; AN=CM

Xét t/g AEN và CMF -> ∠A=∠C ; AN=CM ; AE=CF (=AD/2=BC/2)

-> bằng  (c-g-c)

Tương tự xét t/g DEM=BFN do DM=BN ; DE=BF ; ∠B=∠D

#

-> ∠AEN=∠CFM ; ∠CMF=∠ANE ; ∠DEM=∠BFN ; ∠DME=∠BNF

Trừ ∠N phần ∠ANE và ∠BNF  ;  ∠M phần ∠DME và CMF

-> Được ∠ENF=∠EMF

Tương tự trừ ∠E với ∠AEN và ∠DEM ; ∠F với ∠CFM và ∠BFN

-> ∠NEM=∠NFM

-> trong cùng phía

-> EN//FM và EM//NF

-> bình hành

-> EF và MN cắt nhau tại trung điểm của cả 2

Xét BEDF -> BD cắt EF tại trung điểm của cả 2

Xét ABCD -> BD cắt AC tại trung ...

-> EF-MN-BD-AC cùng cắt tại trung điểm của nhau

-> Đpcm