Đáp án + Giải thích các bước giải:

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle HBA$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{ABH}\text{ chung} \\ \widehat{BAC} = \widehat{BHA} (= 90^\circ) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle ABC \backsim \triangle HBA (g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AC}{AH}$

$\Rightarrow \begin {cases} AB^2 = BH \cdot BC (1) \\ AB \cdot AC = AH \cdot BC (2) \end {cases}$

Mà $AB^2 + AC^2 = BC^2 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow AC^2 + BH \cdot BC = BC \cdot BC$

$\Rightarrow AC^2 = (BC - BH) \cdot BC = HC \cdot BC (3)$

Từ $(2) \Rightarrow AH^2 = \dfrac{AB^2 \cdot AC^2}{BC^2} = \dfrac{AB^2 \cdot AC^2}{AB^2 + AC^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{AB^2 + AC^2}{AB^2 \cdot AC^2} =\dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2} (4)$

Ta có: $AH^2 + HB^2 = AB^2 = BH \cdot BC ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow AH^2 = BH \cdot (BC - HB) = BH \cdot HC (5)$

$\\$

$\\$

$-$ Hình $1$:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow BC^2 = 5^2 + 7^2 = 74$

$\Rightarrow BC = \sqrt{74}$

Áp dụng công thức $(1)$, ta có:

$AB^2 = x \cdot BC$

$\Rightarrow x = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{5^2}{\sqrt{74}} = \dfrac{25\sqrt{74}}{74}$

$\Rightarrow y = BC - x = \sqrt{74} - \dfrac{25\sqrt{74}}{74} = \dfrac{49\sqrt{74}}{74}$

$-$ Hình $2$:

$BC = 2 + 6 = 8$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, áp dụng công thức $(1)$, ta có:

$x^2 = BH \cdot BC$

$\Rightarrow x^2 = 2 \cdot 8 = 16$

$\Rightarrow x = 4$

Mà $x^2 + y^2 = BC^2 = 8^2 = 64($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow y^2 = BC^2 - x^2 = 64 - 16 = 48$

$\Rightarrow y = 4\sqrt{3}$

$-$ Hình $3$:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, áp dụng công thức $(3)$, ta có:

$AC^2 = y \cdot BC$

$\Rightarrow y = \dfrac{AC^2}{BC} = \dfrac{14^2}{16} = \dfrac{49}{4}$

$\Rightarrow x = BC - y = 16 - \dfrac{49}{4} = \dfrac{15}{4}$

$-$ Hình $4$:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$y^2 = AB^2 + AC^2 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow y^2 = 7^2 + 9^2 = 130$

$\Rightarrow y = \sqrt{130}$

Áp dụng công thức $(2)$, ta có:

$AB \cdot AC = xy$

$\Rightarrow x = \dfrac{7 \cdot 9}{\sqrt{130}} = \dfrac{63\sqrt{130}}{130}$

$-$ Hình $5$:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, áp dụng công thức $(5)$, ta có:

$AH^2 = x^2$

$\Rightarrow x = 5$

$\Rightarrow y^2 = x^2 + 5^2 = 5^2 + 5^2 =50 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow y = 5\sqrt{2}$

$-$ Hình $6$:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, áp dụng công thức $(5)$, ta có:

$AH^2 = 2x$

$\Rightarrow x = \dfrac{AH^2}{2} = \dfrac{3^2}{2} = \dfrac{9}{2}$

$\Rightarrow y^2 = 3^2 + x^2 = 9 + \bigg(\dfrac{9}{2}\bigg)^2 = \dfrac{117}{4} ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow y = \dfrac{3\sqrt{13}}{2}$

$-$ Hình $7$:

$AC = \dfrac{4}{3}AB = \dfrac{4}{3} \cdot 15 = 20$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$y^2 = AB^2 + AC^2 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow y^2 = 15^2 + 20^2 = 625$

$\Rightarrow y = 25$

Áp dụng công thức $(2)$, ta có:

$AB \cdot AC = xy$

$\Rightarrow x = \dfrac{15 \cdot 20}{25} = 12$