Đáp án: $C$ 

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y'=(\dfrac{x+\sqrt{1+9x^2}}{8x^2+1})'$

$\to y'=\dfrac{\left(x+\sqrt{1+9x^2}\right)'\:\left(8x^2+1\right)-\left(8x^2+1\right)'\:\left(x+\sqrt{1+9x^2}\right)}{\left(8x^2+1\right)^2}$

$\to y'=\dfrac{\left(1+\dfrac{9x}{\sqrt{1+9x^2}}\right)\left(8x^2+1\right)-16x\left(x+\sqrt{1+9x^2}\right)}{\left(8x^2+1\right)^2}$

$\to y'=\dfrac{-72x^3-8x^2\sqrt{9x^2+1}-7x+\sqrt{9x^2+1}}{\left(8x^2+1\right)^2\sqrt{9x^2+1}}$

Giải $y'=0$

$\to \dfrac{-72x^3-8x^2\sqrt{9x^2+1}-7x+\sqrt{9x^2+1}}{\left(8x^2+1\right)^2\sqrt{9x^2+1}}=0$

$\to x=\dfrac1{6\sqrt2}$

Lập bbt $\to x=\dfrac1{6\sqrt2}$  là GTLN của hàm số trên $(0; +\infty)$

$\to y=\dfrac{\dfrac1{6\sqrt2}+\sqrt{1+9\cdot (\dfrac1{6\sqrt2})^2}}{8\cdot (\dfrac1{6\sqrt2})^2+1}$

$\to y=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$

$\to y=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$