Xét tứ giác $APDQ$, ta có:
       $\widehat{PAQ} = 90^\circ$ (vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
       $DP \perp AB$ (gt) $\implies \widehat{APD} = 90^\circ$.
       $DQ \perp AC$ (gt) $\implies \widehat{AQD} = 90^\circ$.
  Tứ giác $APDQ$ có ba góc vuông, nên là một hình chữ nhật.

   Trong hình chữ nhật, hai đường chéo có độ dài bằng nhau nên
    $PQ = AD$
   Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống cạnh $BC$.

   Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên nên ta luôn có $AD \ge AH$
  `->` Giá trị $AD$ nhỏ nhất là $AH$, đạt được khi và chỉ khi điểm $D$ trùng với điểm $H$.