Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi $S.ABCD$ là hình dạng của kim tự tháp với đường cao $h,$ cạnh đáy $a (a, h > 0), O = AC \cap BD$

$\Rightarrow SO \bot (ABCD)$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$, kẻ $OH \bot SM (H \in SM)$.

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu nội tiếp $S.ABCD$, kẻ $IK // OH (K \in SM)$.

$\Rightarrow IO = R = 6m$

Ta có: $\begin {cases} OM \bot AB \\ SM \bot AB \end {cases}$

$\Rightarrow AB \bot (SOM)$

$\Rightarrow AB \bot OH$

Mà $OH \bot SM$

$\Rightarrow OH \bot (SAB)$

Mà $IK // OH$

$\Rightarrow IK \bot (SAB)$

$\Rightarrow IK = R =6m$

Xét $\triangle SOH$, có $IK // OH$

$\Rightarrow \dfrac{SI}{SO} = \dfrac{IK}{OH} ($hệ quả của định lý Talet$)$

$\Rightarrow \dfrac{h - 6}{h} = \dfrac{6}{OH}$

$\Rightarrow OH = \dfrac{6h}{h - 6}$

Xét $\triangle SOM$ vuông tại $O$, có $\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OM^2}$

$\Rightarrow \dfrac{h^2 - 12h + 36}{36h^2} = \dfrac{1}{h^2} + \dfrac{4}{a^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{h^2 - 12h + 36}{36h^2} = \dfrac{a^2 + 4h^2}{a^2h^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{h - 6}{6h} = \dfrac{\sqrt{a^2 + 4h^2}}{ah}$

$\Leftrightarrow \dfrac{h - 6}{6} = \dfrac{\sqrt{a^2 + 4h^2}}{a}$

$\Leftrightarrow a(h - 6) = 6\sqrt{a^2 + 4h^2}$

$\Leftrightarrow a^2 (h^2 - 12h + 36) = 36(a^2 + 4h^2)$

$\Leftrightarrow a^2(h^2 - 12h) = 144h^2$

$\Leftrightarrow a^2 = \dfrac{144h}{h - 12}$

$\Rightarrow V(h) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{144h}{h - 12} \cdot h$

$= \dfrac{48h^2}{h - 12}$

$V'(h) = \dfrac{48h(h - 24)}{(h - 12)^2}$

$V'(h) = 0 \Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}h=0(l)\\h=24(n)\end{array} \right.\) 

Vậy chiều cao của kim tự tháp đó là $24m$