Đặt trục `Oxyz` (Đơn vị trên mỗi trục: mét) như hình vẽ

Ta có: `O^'M=sqrt((OA^')^2-AM^2)=1/2`

Chọn `A(-1/2;-sqrt3/2;4)` và `B(-1/2;sqrt3/2;4)` `=>` `M(-1/2;0;4)`

`C` nằm trong mặt phẳng `z=1`

`C` nằm trong đường tròn tâm `I(0;0;1)` và `R=1`

Gọi `N(0;0;a)` với `a in (0;4)` `=>` `vec(MN)=(1/2;0;a-4)`

`=>` `(MN):  {(x=-1/2+1/2t),(y=0),(z=4+(a-4)t):}`

`C` là giao điểm của `(MN)` và mặt phẳng `z=1`

Ta có: `4+(a-4)t=1=>t=3/(4-a)=>C((a-1)/(8-2a);0;1)`

Ta có: `IC=1=>IC^2=1=>((a-1)/(8-2a))^2=1`

`=>` `(a-1)^2=(8-2a)^2`

`=>` `[(a-1=8-2a=>a=3 => C(1;0;1)),(a-1=2a-8=>a=7=>C(-1;0;1)):}`

Dễ thấy `C` và hai điểm `A,B` nằm khác phía so với mặt phẳng `x=0`

`=>` Chọn `C(1;0;1)`

Ta sẽ tính bằng cách lấy thể tích hình trụ và trừ đi phần còn lại để ra thể tích phần cần tính

Ta chia thể tích phần còn lại thành hai phần `I` và `II` như hình vẽ

Ta có: `V_I=pi*1*1=pi  m^3`

Ta sẽ tính `V_(II)`

Ta sẽ dùng mặt phẳng vuông góc với trục `Oz` và cắt phần còn lại của hình chóp theo một thiết diện có diện tích là `S(z)`

Khi đó: `V_(II)=int_1^4 S(z)dz`

Mặt phẳng `z=alpha  (alpha in [1;4])` sẽ cắt mặt phẳng `(ABC)` theo một giao tuyến `(Delta)`

Mặt phẳng `z=alpha` còn cắt hình trụ theo giao tuyến là đường tròn tâm `I^'(0;0;alpha)` và bán kính `R=1`

Khi đó, diện tích thiết diện chính là phần diện tích bị giới hạn bởi `(Delta)` và đường tròn sao cho hình chiếu của `C` lên mặt phẳng `z=alpha` không nằm trong vùng thiết diện

Gọi `A^'` và `B^'` là giao điểm của `(Delta)` và đường tròn

Mặt phẳng `(ABC)` có phương trình `2x+z-3=0` với VTPT `vec(n)=(2;0;1)`

Mặt phẳng `z=alpha` có VTPT `vec(n_1)=(0;0;1)`

`=>` `(Delta)` có VTCP `vec(u_1)=(0;-2;0)` hay `vecu=(0;1;0)`

Ta thấy điểm `E((3-alpha)/2;0;alpha)` là một điểm chung của `(ABC)` và mặt phẳng `z=alpha`

`=>` `(Delta):  {(x=(3-alpha)/2),(y=t),(z=alpha):}`

Ta có: `vec(IE^')=((3-alpha)/2;0;0)=>[vec(IE^'),vecu]=(0;0;(3-alpha)/2)`

`=>` `d(I,(Delta))=(|[vec(IE^'),vecu]|)/(|vecu|)=|(3-alpha)/2|`

`=>` `A^'B^'=2sqrt(R^2-[d(I,Delta)]^2)=2sqrt(1-((3-alpha)^2)/4)`

Ta có: `cos(A^'I^'B^')=((I^'A^')^2+(I^'B^')^2-(A^'B^')^2)/(2*I^'A^'*I^'B^')`

`=(2-4*(1-((3-alpha)^2)/4))/(2)`

`=(alpha^2-6alpha+7)/2`

`hat(A^'I^'B^')=cos^(-1)((alpha^2-6alpha+7)/2)`

TH1: `alpha in [1;3]`

`S_"thiết diện"=S_"tròn"-(S_("quạt"   I^'A^'B^')-S_(DeltaI^'A^'B^'))`

`=pi*R^2-(("Độ lớn của góc"  A^'I^'B^'  (rad))/(2)*R^2-1/2R^2*sin  hat(A^'I^'B^'))`

`=pi-(cos^(-1)((alpha^2-6alpha+7)/2))/2+1/2*sqrt(1-((alpha^2-6alpha+7)/2)^2)`

TH2: `alpha in [3;4]`

`S_"thiết diện"=S_("quạt"  I^'A^'B^')-S_(DeltaI^'A^'B^')`

`=("Độ lớn của góc"  A^'I^'B^'  (rad))/(2)*R^2-1/2R^2*sin  hat(A^'I^'B^')`

`=(cos^(-1)((alpha^2-6alpha+7)/2))/2-1/2*sqrt(1-((alpha^2-6alpha+7)/2)^2)`

Như vậy: `V_(II)=int_1^4  S(z)dz`

`=int_1^3  S(z)dz+int_3^4  S(z)dz`

`=int_1^3  [pi-(cos^(-1)((z^2-6z+7)/2))/2+1/2*sqrt(1-((z^2-6z+7)/2)^2]]dz+int_3^4  [(cos^(-1)((z^2-6z+7)/2))/2-1/2*sqrt(1-((z^2-6z+7)/2)^2)]dz ~~ 6,031345  m^3`

`=>` `V_"cần tính" =V_"trụ"-V_(I)-V_(II) ~~ 3,39  m^3`