Đáp án: $\dfrac{a^3}{6\sqrt{5}}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $D$ là trung điểm $AC$

Ta có: $SA=SC$

$\to \Delta SAC$ cân tại $S$

$\to SD\perp AC$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $B, D$ là trung điểm $AC$

$\to DB=DA=DC=\dfrac12AC$

Mà $SA=SB=SC$

$\to SB^2=SA^2=SD^2+DA^2=SD^2+BD^2$

$\to \Delta SBD$ vuông tại $D$

$\to SD\perp BD$

$\to SD\perp ABC$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $B,\widehat{BAC}=60^o, AB=a$

$\to AC=2AB=2a, BC=a\sqrt3$

Đặt:

$B(0,0,0), A(1, 0,0), C(0, \sqrt3, 0)$

$D(\dfrac12, \dfrac{\sqrt3}2, 0)$

$S(\dfrac12, \dfrac{\sqrt3}2, k)$

$M(\dfrac34, \dfrac{\sqrt3}4, \dfrac{k}2$

Ta có:

$\vec{BC}=(0,\sqrt3, 0)$

$\vec{BS}=(\dfrac12, \dfrac{\sqrt3}2, k)$

$\to [\vec{BC},\vec{BS}]=(k\sqrt3, 0, -\dfrac{\sqrt3}2)$

$\to (SBC): k\sqrt3x-\dfrac{\sqrt3}2z=0$

Do $d(M, SBC)=\dfrac{a\sqrt{19}}{19}$

$\to \dfrac{|k\sqrt3\cdot \dfrac34-\dfrac{\sqrt3}2\cdot \dfrac{k}2|}{\sqrt{(k\sqrt3)^2+0^2+(-\dfrac{\sqrt3}2)^2}}=\dfrac{\sqrt{19}}{19}$

$\to k=\dfrac1{\sqrt{15}}$

$\to SD=\dfrac{a}{\sqrt{15}}$

$\to V_{SABC}=\dfrac13\cdot \dfrac{a}{\sqrt{15}}\cdot \dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3=\dfrac{a^3}{6\sqrt{5}}$