Kẻ $AE \perp CH$ tại $E$.

Xét tứ giác $ADEH$ có $\widehat{D} = \widehat{H} = \widehat{E} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

$$\Rightarrow EH = AD = 7$$ (m).

Xét $\triangle ACE$ vuông tại $E$, ta có:

$$AE = \frac{CE}{\tan(\widehat{CAE})} = \frac{CE}{\tan(40^\circ)}$$ (1)

Xét $\triangle ABE$ vuông tại $E$, ta có:

$$AE = \frac{BE}{\tan(\widehat{BAE})} = \frac{BC + CE}{\tan(50^\circ)} = \frac{5 + CE}{\tan(50^\circ)}$$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$$\frac{CE}{\tan(40^\circ)} = \frac{5 + CE}{\tan(50^\circ)}$$

$$\Leftrightarrow CE \cdot \tan(50^\circ) = (5 + CE) \cdot \tan(40^\circ)$$

$$\Leftrightarrow CE \cdot \tan(50^\circ) = 5 \cdot \tan(40^\circ) + CE \cdot \tan(40^\circ)$$

$$\Leftrightarrow CE \cdot \tan(50^\circ) - \tan(40^\circ) = 5 \cdot \tan(40^\circ)$$

$$\Leftrightarrow CE = \frac{5 \cdot \tan(40^\circ)}{\tan(50^\circ) - \tan(40^\circ)} \approx 11.9$$ (m)

Chiều cao của tòa nhà là:

$$CH = CE + EH \approx 11.9 + 7 = 18.9$$ (m)

Vậy, chiều cao của tòa nhà khoảng $18.9$ mét.