Giải hộ tôi bài 2 trong đề này

Ta có: $P = \left(\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2}\right) - 2\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) - 1$

Đặt $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

 $t^2 = \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} + 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} + 2$

Do đó, $\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} = t^2 - 2$

$P = (t^2 - 2) - 2t - 1$

$P = t^2 - 2t - 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si  cho hai số không âm, ta có:

  Nếu $\frac{a}{b} > 0$: $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2$

 Nếu $\frac{a}{b} < 0$: Đặt $\frac{a}{b} = -x$ với $x > 0$

    $t = -x + \frac{1}{-x} = -(x + \frac{1}{x})$

    Vì $x + \frac{1}{x} \ge 2$ nên $t = -(x + \frac{1}{x}) \le -2$

$P = (t^2 - 2t + 1) - 4 = (t - 1)^2 - 4$

TH1:  $t \ge 2$

    $t - 1 \ge 1 \implies (t - 1)^2 \ge 1$

    Suy ra $P = (t - 1)^2 - 4 \ge 1 - 4 = -3$

TH2:  $t \le -2$

    $t - 1 \le -3 \implies (t - 1)^2 \ge (-3)^2 = 9$

    Suy ra $P = (t - 1)^2 - 4 \ge 9 - 4 = 5$

Dấu "=" xảy ra khi $P = -3$, tương đương với $t=2$

$t = 2 \iff \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \iff \frac{a^2+b^2}{ab} = 2 \iff a^2+b^2 = 2ab \iff (a-b)^2 = 0 \iff a=b$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-3$, đạt được khi $a=b \ne 0$