Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{1.}$ Xét tứ giác $BMND$, ta có:

$\begin {cases} MN // BD \\ MN = BD (gt) \end {cases}$

$\Rightarrow BMND$ là hình bình hành $($tứ giác có $2$ cạnh đối song song và bằng nhau$)$

$\textbf{2.}$ Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, có $MH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$

$\Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AB = AM$

$\Rightarrow \triangle AMH$ cân tại $M$

Ta có: $HM = \dfrac{1}{2}AB = MB$

$\Rightarrow \triangle HMB$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MHB} = \widehat{MBH}$

Ta có: $MN // BH$

$\Rightarrow \widehat{NMH} = \widehat{MHB} (2$ góc so le trong bằng nhau$)$

$\Rightarrow \widehat{MBH} = \widehat{NMH}$

Ta có: $BMND$ là hình bình hành

$\Rightarrow \widehat{MBD} = \widehat{MND}$

$\Rightarrow \widehat{NMH} = \widehat{MND}$

Xét tứ giác $DHMN$, có $MN // DH$

$\Rightarrow DHMN$ là hình thang

Mà $\widehat{NMH} = \widehat{MND}$

$\Rightarrow DHMN$ là hình thang cân $($hình thang có $2$ góc kề $1$ đáy bằng nhau$)$