Giải thích các bước giải:

a.Vì $ABCD$ là hình bình hành

$\to AD//BC, AD=BC$

Ta có: $E, F$ là trung điểm $BC, AD$

$\to AF//BE, AF=\dfrac12AD=\dfrac12BC=BE$

$\to ABEF$ là hình bình hành

Mà $BC=2AB$

$\to AB=\dfrac12AB=BE$

$\to ABEF$ là hình thoi

$\to AE\perp BF$

b.Ta có: $ABEF$ là hình thoi

$\to EF//AB$

Mà $AB//CD$

$\to AE//CD$

Do $AD//BC\to DF//CE$

$\to DCEF$ là hình bình hành

Lại có: $CD=AB=\dfrac12BC=CE$

$\to CDFE$ là hình thoi

c.Ta có: $AD//BC$

$\to BE//AD$

$\to ABED$ là hình thang

Vì $ABEF$ là hình thoi $\to AB=BE=EF=FA, \widehat{BEF}=\widehat{BAF}=\hat A=60^o$

$\to \Delta AFB,\Delta BFE$ đều

$\to \widehat{EFD}=\widehat{FEB}=60^o$

Lại có: $FDCE$ là hình thoi $\to FE=FD$

$\to \Delta FDE$ đều
$\to \widehat{EDF}=60^o$

$\to \widehat{BAD}=\widehat{EDA}$

$\to ABED$ là hình thang cân

d.Ta có: $\Delta FBE,\Delta FED$ đều

$\to FE=FB=BE, FD=DE=EF$

$\to BF=FD=DE=EB$

$\to BEDF$ là hình thoi

$\to DB\perp EF$

Mà $EF//AB, CD//EF$

$\to DB\perp AB, BD\perp DC$

$\to BD\perp MB, DB\perp DC$

Ta có: $ABCD$ là hình bình hành

$\to AB//CD,AB=CD$

Mà $B$ là trung điểm $AM$

$\to CD//BM, CD=BM$

$\to BDCM$ là hình bình hành

Do $BD\perp MB$
$\to BDMC$ là hình chữ nhật

e.Ta có: $BDMC$ là hình chữ nhật

$\to BC\cap DM$ tại trung điểm mỗi đường

Do $E$ là trung điểm $BC$

$\to E$ là trung điểm $DM$

$\to D, E, M$ thẳng hàng