$D = \mathbb{R}$.

    $y' = x^2 - 2(m-1)x + 3(m-2)$

    $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2(m-1)x + 3(m-2) = 0 \quad (*)$

    $\Delta' = [-(m-1)]^2 - 3(m-2) = m^2 - 2m + 1 - 3m + 6 = m^2 - 5m + 7$

    $\Delta' = (m - \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ với mọi $m$.

    $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m-1) \quad (1) \\ x_1 x_2 = 3(m-2) \quad (2) \end{cases}$

    $2x_1 + x_2 = 2 \quad (3)$

    $(2x_1 + x_2) - (x_1 + x_2) = 2 - 2(m-1) \Rightarrow x_1 = 4 - 2m$

    $(4 - 2m) + x_2 = 2m - 2 \Rightarrow x_2 = 4m - 6$

    $(4 - 2m)(4m - 6) = 3(m-2)$

    $\Leftrightarrow -8m^2 + 24m + 16m - 24 = 3m - 6$

    $\Leftrightarrow -8m^2 + 40m - 24 = 3m - 6$

    $\Leftrightarrow 8m^2 - 37m + 18 = 0$

 Pt có hai nghiệm phân biệt:

    $\begin{cases} m_1 = \frac{9}{8} \\ m_2 = 2 \end{cases}$

    $S = m_1^2 + m_2^2 = \left(\frac{9}{8}\right)^2 + 2^2 = \frac{81}{64} + 4 = \frac{81 + 256}{64} = \frac{337}{64}$

Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của $m$ cần tìm là $\frac{337}{64}$.