Đáp án + Giải thích các bước giải:

$y' = x^2 - 2mx + m + 2$

$y$ có cực trị $\Leftrightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta = (-2m)^2 - 4(m + 2) > 0$

$\Leftrightarrow 4m^2 - 4m - 8 > 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}m< -1\\m > 2\end{array} \right.\) 

Gọi $x_1, x_2$ là hai điểm cực trị của $y (x_1 < x_2)$

Ta có: $y = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m + 2)x$ là hàm bậc ba có $a = \dfrac{1}{3} > 0$

$\Rightarrow y$ đồng biến trên $(-\infty; x_1)$ và $(x_2; +\infty)$, nghịch biến trên $(x_1; x_2)$

Ta có: $y = x\bigg(\dfrac{1}{3}x^2 - mx + m + 2\bigg)$ đạt giá trị dương tại $x_1$ và $x_2$

$\Rightarrow \begin {cases} x_2 > x_1 > 0 \\ \dfrac{1}{3}x^2 - mx + m + 2 > 0 &\forall x \end {cases}$

Ta có: $x_2 > x_1 > 0 \Rightarrow \begin {cases} x_1 + x_2 = 2m > 0 \\ x_1x_2 = m + 2 > 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow m > 0$

Mà $y$ có $2$ cực trị $\Rightarrow m > 2$

Xét $g(x) = \dfrac{1}{3}x^2 - mx + m + 2$

$g(x) > 0 \hspace{0.5cm} \forall x \Rightarrow \begin {cases} \Delta = m^2 - \dfrac{4}{3}m -\dfrac{8}{3} < 0 \\ \dfrac{1}{3} > 0 (\text{luôn đúng})\end {cases}$

$\Leftrightarrow 3m^2 - 4m - 8 < 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{2 - 2\sqrt{7}}{3} < m < \dfrac{2 + 2\sqrt{7}}{3}$

Mà $m >2 \Rightarrow 2 < m < \dfrac{2 + 2\sqrt{7}}{3}$

Vậy $2 < m < \dfrac{2 + 2\sqrt{7}}{3}$