Đáp án: $1$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y'=-3x^2+6mx$

Giải $y'=0$

$\to -3x^2+6mx=0$

$\to -3x(x-2m)=0$

$\to x\in\{0, 2m\}$

$\to y\in\{-3m-1, 4m^3-3m-1\}$

$\to A(0, -3m-1), B(2m, 4m^3-3m-1)$ là cực trị hàm số

$\to I(m,  2m^3-3m-1)$ là trung điểm của $AB$

Để $A, B$ đối xứng qua $(d)$

$\to I\in (d)$

$\to m+8(2m^3-3m-1)-74=0$

$\to 16m^3-23m-82=0$

$\to \left(m-2\right)\left(16m^2+32m+41\right)=0$

$\to m=2$ vì $16m^2+32m+41=16\left(m+1\right)^2+25>0$

$\to A(0, -7), B(4,  25)$

$\to \vec{AB}=(4,  32)$

Do $A, B$ đối xứng qua $(d)$

$\to AB\perp (d)$

$\to \dfrac{4}1=\dfrac{32}8$ (đúng)

$\to m=2$ chọn