Đặt cạnh hình vuông ABCD là $a$ , Đặt $BM = x$ ($0 < x \le a$).

    Xét $\triangle ABM$ và $\triangle FCM$:

         $\widehat{B} = \widehat{FCM} = 90^\circ$

        $\widehat{AMB} = \widehat{FMC}$ (hai góc đối đỉnh)

    Suy ra $\triangle ABM \sim \triangle FCM$ (g.g).

     $\frac{AB}{FC} = \frac{BM}{CM} \implies \frac{a}{FC} = \frac{x}{a-x} \implies FC = \frac{a(a-x)}{x}$.

     $DF = DC + CF = a + \frac{a(a-x)}{x} = \frac{ax + a^2 - ax}{x} = \frac{a^2}{x}$.

Áp dụng định lý Pythagoras:

     $AM^2 = AB^2 + BM^2 = a^2 + x^2$.

     $AF^2 = AD^2 + DF^2 = a^2 + \left(\frac{a^2}{x}\right)^2 = a^2 + \frac{a^4}{x^2} = \frac{a^2x^2 + a^4}{x^2} = \frac{a^2(x^2+a^2)}{x^2}$.

     Ta có:

        $$ \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AF^2} = \frac{1}{a^2 + x^2} + \frac{1}{\frac{a^2(x^2+a^2)}{x^2}} $$

        $$ = \frac{1}{a^2 + x^2} + \frac{x^2}{a^2(a^2 + x^2)} $$

        $$ = \frac{a^2 + x^2}{a^2(a^2 + x^2)} = \frac{1}{a^2} $$

     Vì $a$ là độ dài cạnh hình vuông không đổi nên $\frac{1}{a^2}$ là một hằng số.