Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a$\bigg)$}$ Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$, ta có:

$\begin {cases} AB = AC (gt) \\ BD = CD (AD\text{ là đường trung tuyến của }\triangle ABC) \\  AD\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle ABD = \triangle ACD (c - c - c)$

$\textbf{b$\bigg)$}$ Xét $\triangle AEM$ và $\triangle CEB$, ta có:

$\begin {cases} AE = CE (BE\text{ là đường trung tuyến của }\triangle ABC) \\ EB = EM (gt) \\ \widehat{AEM} = \widehat{CEB}(\text{đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AEM = \triangle CEB (c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat{EAM} = \widehat{ECB} (2$ góc tương ứng$)$

Mà $\widehat{EAM}$ và $\widehat{ECB}$ nằm ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AM // BC$

Ta có: $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $AD$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow AD \bot BC$

Mà $AM // BC \Rightarrow AD \bot AM$

$\textbf{c$\bigg)$}$ Xét $\triangle BMC$, có $E$ là trung điểm của $BM (EB = EM)$

$\Rightarrow CE$ là đường trung tuyến của $\triangle BMC$

Xét $\triangle BMC$, có $D$ là trung điểm của $BC (cmt)$

$\Rightarrow MD$ là đường trung tuyến của $\triangle BMC$

Mà $CE$ cắt $MD$ tại $I$

$\Rightarrow I$ là trọng tâm của $\triangle BMC$

$\Rightarrow BI$ đi qua trung điểm của $CM$