`a^3 +b^3 + c^3 = 4abc  (1)`

`ab+2bc+3ca=0  (2)`

TH1: `a=0`

Phương trình `(2)` trở thành:

`2bc = 0`

`<=> b=0` hoặc `c=0`

$+$ Nếu `b=0` thì `(1)` trở thành: `c^3 = 0 => c=0`

$+$ Nếu `c=0` thì `(1)` trở thành: `b^3 = 0 => b=0`

Vậy `(a;b;c) = (0;0;0)`

TH2: `a;b;c \ne 0`

Đặt: `{(a=xc  (x in RR)),(b=yc  (y in RR)):}`

Phương trình `(2)` trở thành:

`xc.yc+2yc.c+3c.xc=0`

`<=> xyc^2+2yc^2+3xc^2=0`

`<=> c^2 .(xy+2y+3x)=0`

`<=> xy+2y+3x = 0`    (Vì `c \ne 0`)

`<=> y(x+2)=-3x`

`<=> y=-(3x)/(x+2)   (x \ne -2)`

Phương trình `(1)` trở thành:

`(xc)^3 +(yc)^3 + c^3 = 4xc.yc.c`

`<=> x^3 .c^3 +y^3 .c^3 + c^3 = 4xyc^3`

`<=> c^3 (x^3+y^3+1) = 4xyc^3`

`<=> x^3+y^3+1 = 4xy`    (Vì `c \ne 0`)  `(3)`

Thay `y=-(3x)/(x+2)` vào `(3)` ta có:

`x^3 + (-(3x)/(x+2))^3 + 1 = 4x . (-(3x)/(x+2))`

`<=> x^3 - (27x^3)/((x+2)^3) + 1 = -(12x^2)/(x+2)`

`<=> (x^3 .(x+2)^3 - 27x^3 + (x+2)^3)/((x+2)^3) = -(12x^2)/(x+2)`

`<=> x^3 .(x+2)^3 - 27x^3 + (x+2)^3 = -(12x^2)/(x+2) . (x+2)^3`

`<=> x^3 .(x^3+6x^2+12x+8) - 27x^3 + (x^3+6x^2+12x+8) = -12x^2 .(x+2)^2`

`<=> x^6+6x^5+12x^4+8x^3 - 27x^3 + x^3+6x^2+12x+8 = -12x^2 .(x^2+4x+4)`

`<=> x^6+6x^5+12x^4-18x^3+6x^2+12x+8 = -12x^4-48x^3-48x^2`

`<=> x^6+6x^5+24x^4+30x^3+54x^2+12x+8 = 0`

`<=> (x^6+6x^5+9x^4)+(15x^4+30x^3+15x^2)+(39x^2+12x+12/13)-12/13+8 = 0`

`<=> (x^3+3x^2)^2+15(x^2+x)^2+(x\sqrt{39}+6/(\sqrt{39}))^2+92/13 = 0  (4)`

Vì `(x^3+3x^2)^2 ; 15(x^2+x)^2 ; (x\sqrt{39}+6/(\sqrt{39}))^2 >=0 (AA x in RR, x \ne -2)`

`=> (4) >= 92/13 > 0` nên loại

Vậy số thực `a,b,c` thỏa mãn là `(0;0;0)`