Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điểm 3đường phân giác từ I kẻ MI vuông BC. Biết BM=x, MC=y. CMR S∆ABC =xy

Kẻ `ID` vuông góc `AC` tại `D`

Kẻ `IE` vuông góc `AB` tại `E`

Vì `I` là giao điểm của `3` đường phân giác

nên `IM = ID = IE`

Đặt: `IM = z`

`=> IM = ID = IE = z`

Ta có: `\hat{IDA} = \hat{IEA} = \hat{DAE} = 90^@`

`=> ADIE` là hình chữ nhật

mà `ID = IE  (cmt)`

`=> ADIE` là hình vuông

`=> AD = AE = IE = ID = z`

Xét `\triangle MIC` vuông tại `M` và `\triangle DIC` vuông tại `D` có:

`{(IM = ID  (cmt)),(IC  \text{là cạnh chung}):}`

`=> \triangle MIC = \triangle DIC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`=> MC = CD = y` (`2` cạnh tương ứng)

Tương tự ta có: `MB = EB = x`

`\triangle ABC` vuông tại `A` có:

`BC^2 = AC^2 + AB^2` (định lí pythagore)

`(MC+MB)^2 = (CD+AD)^2 + (AE+EB)^2`

`(y+x)^2 = (y+z)^2 + (z+x)^2`

`x^2+2xy+y^2 = y^2+2yz+z^2 + x^2+2xz+z^2`

`2xy=2yz+2xz+2z^2`

`xy=yz+xz+z^2`

Ta có: `S_(\triangle ABC) = 1/2 . AC . AB`

`S_(\triangle ABC) = 1/2 . (CD+AD) . (AE+EB)`

`S_(\triangle ABC) = 1/2 . (y+z) . (z+x)`

`S_(\triangle ABC) = 1/2 . (yz+xz+z^2+xy)`

Thay `yz+xz+z^2=xy` vào `S_(\triangle ABC)` ta có:

`S_(\triangle ABC) = 1/2 . (xy+xy)`

`S_(\triangle ABC) = 1/2 . (2xy)`

`S_(\triangle ABC) = xy`