Giả sử sau i bước, trên bảng còn 100-i số, ta ký hiệu `A_i` là tổng nghịch đảo của `100-i` số đó.

Xét bước thứ 0, tức thời điểm mà ta chưa xóa số gì. Gọi 100 số trên bảng lần lượt là `a_1,a_2,...,a_100`.

Khi đó `A_0 = 1/a_1 + 1/a_2 +....+ 1/a_100 =1+2+3+...+100=(100.101)/2=5050`.

Ta để ý với mỗi bước i, nếu xóa 2 số a,b bất kì và thay bằng số c thì trong tổng `A_i` sẽ bị xóa đi 2 số `1/a` và `1/b`, đồng thời thêm số `1/c` vào để tạo thành tổng `A_(i+1)`. Nhưng lại có `1/c < 1/a + 1/b` (theo giả thiết đề bài), nên `A_i > A_(i+1)`. Như vậy `A_0 > A_1 > A_2 >...>A_99=1/M`

`=>M>1/A_99=1/5050`.