Phương trình mặt cầu (S):

$(a-1)^{2}$ +$(b-2)^{2}$+$(c-2)^{2}$ = $(3)^{2}$ = $9$  

Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN là:

`\vec{MN}` = $(6-4; 0-(-4); 6-2)$ = $(2;4;4)$

Chọn vectơ chỉ phương `\vec{u}` = $(1;2;2)$

PT tham số của đường thẳng MN là:

$\begin{cases} x = 4+t\\y = -4+2t\\z=2+2t \end{cases}$

Thay vào PT tham số của MN vào PT mặt cầu (S):

$(4+t-1)^{2}$ + $(-4+2t-2)^{2}$ + $(2+2t-2)^{2}$ = $9$ 

$(3+t)^{2}$ +$(2t-6)^{2}$ +$(2t)^{2}$ = $9$

$9$ + $6t$ + $t^{2}$ +$4t^{2}$ - $24t$ + $36$ + $4t^{2}$ = $9$

$9t^{2}$ - $18t$ + $36$ = $0$ 

$t^{2}$ - $2t$ + $4$ = $0$

$\Delta'$ = $(-1)^{2}$ - $1$.$4$ = $1$ - $4$ = $-3$ $<$ $0$ 

Vì $\Delta'$  $<$ $0$ , PT vô nghiệm, tức là đường thẳng $MN% không cắt mặt cầu (S).

Để $EM + EN$ lớn nhất, điểm E phải nằm trên mặt cầu sao cho $EM + EN$ đạt giá trị lớn nhất.

Vì $MN$ ko cắt mặt cầu, ta tìm điểm E sao cho nó " gần" đường thẳng $MN$ nhất.

$\overrightarrow{IM}$ $=$ $(4-1;-4-2;2-2)$ $=$ $(3;-6;0)$
$\overrightarrow{IN}$ $=$ $(6-1;0-2;6-2)$ $=$ $(5;-2;4)$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳn $(IMN)$ là:
$\overrightarrow{n}$ $=$ $\overrightarrow{IM}$ x $\overrightarrow{IN}$ = $(-24;-12;24)$

Chọn vectơ pháp tuyến đơn giản hơn:

$\overrightarrow{n}$ $=$ $(2;1;-2)$

Điểm $E$ có dạng $E(1+2k;2+k;2-2k)$, với $k$ là tham số.

Vì $E$ năm trên mặt cầu (S), khoảng cách $IE$ = $3$:

$(1+2k-1)^{2}$ + $(2-k-2)^{2}$ + $(2-2k-2)^{2}$ $=$ $9$
$(2k)^{2}$ +$(k)^{2}$+$(-2k)^{2}$ $=$ $9$
$4k^{2}$+$k^{2}$+$4k^{2}$ $=$ $9$
$9k^{2}$ $=$ $9$
$k^{2}$ $=$ $1$
$k$ $=$ $\pm$1

Tọa độ điểm $E$:

Với $k = 1$,

$ E(1+2(1);2+1;2-2(1)) = E(3;3;0)$

Với $k = -1$,

$ E(1+2(-1);2+(-1);2-2(-1)) = E(-1;1;4)$

Tính $EM + EN$ cho 2 điểm:

$E(3;3;0)$:

$EM$ =$\sqrt{(3-4)^{2}+(3+4)^{2}+(0-2)^{2}}$ = $\sqrt{1+49+4}$ = $\sqrt{54}$

$EN$ =$\sqrt{(3-6)^{2}+(3-0)^{2}+(0-6)^{2}}$ = $\sqrt{9+9+36}$ = $\sqrt{54}$

$ EM + EN $=$2\sqrt{54}$

$E(-1;1;4)$:
$EM$ =$\sqrt{(-1-4)^{2}+(1+4)^{2}+(4-2)^{2}}$ = $\sqrt{25+25+4}$ = $\sqrt{54}$
$EN$ =$\sqrt{(-1-6)^{2}+(1-0)^{2}+(4-6)^{2}}$ = $\sqrt{19+1+4}$ = $\sqrt{54}$
$ EM + EN $=$2\sqrt{54}$

Cả hai điểm đều cho cùng 1 tổng khoảng cách. Chọn $E(3;3;0)$.

Với $E(3;3;0)$ , $ T = a + b + c = 3 + 3 + 0 = 6$

Vậy, $T = a + b + c = 6$

#Nguoibian88