Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\Delta_1: \dfrac{x - 4}{3} = \dfrac{y - 1}{-1} = \dfrac{z + 5}{-2}$

$\Rightarrow \Delta_1: \begin {cases} x = 4 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = -5 - 2t \end {cases}$

$\Leftrightarrow \Delta_1$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (3; -1; -2)$

$\Delta_2: \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y +3}{3} = \dfrac{z}{1}$

$\Rightarrow \Delta_2: \begin {cases} x = 2 + t' \\ y = -3 + 3t' \\ z = t' \end {cases}$

$\Leftrightarrow \Delta_2$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u_2} = (1; 3; 1)$

Mặt cầu $(S)$ có bán kính nhỏ nhất khi tâm của $(S)$ là trung điểm của đoạn vuông góc của $\Delta_1$ và $\Delta_2$.

Gọi $A(4 + 3t; 1 - t; -5 - 2t), B(2 + t'; -3 + 3t'; t')$ lần lượt là $2$ điểm thuộc $\Delta_1$ và $\Delta_2$ sao cho $AB$ là đoạn vuông góc chung, $I$ là tâm mặt cầu $(S)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (-2 - 3t + t'; -4 + t + 3t'; 5 + 2t + t')$

Ta có: $\begin {cases} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u_1} = 0 \\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} 3(-2 - 3t + t') - (-4 + t + 3t') - 2(5 + 2t + t') = 0 \\ (-2 - 3t + t') + 3(-4 + t + 3t') + (5 + 2t + t') = 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} -6 - 9t + 3t' + 4 - t - 3t' - 10 - 4t - 2t' = 0 \\ -2 - 3t + t' - 12 + 3t + 9t' + 5 + 2t + t' = 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} -14t - 2t' = 12 \\ 11t' + 2t = 9 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} t = -1 \\ t' = 1 \end {cases}$

$\Rightarrow A(1; 2; -3), B(3; 0; 1)$

$\Rightarrow I(2; 1; -1)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 1)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{6}$

$\Rightarrow$ Diện tích của mặt cầu là $4\pi R^2 = 4\pi \cdot 6 = 24\pi \approx 75,4$