Ta có:  `p^4 - q^4= (p^4-1)-(q^4-1)`

          `240=8.2.3.5`

`@` Ta cần chứng minh `p^4-1 vdots 240`

`-` Do `p` là số nguyên tố `>5` 

`=> p` là lẻ

`- p^4-1= (p-1)(p+1)(p^2+1)`

`=> (p-1)(p+1) vdots 8 => p^4-1 vdots 8  (1)`

`=> p^4-1 vdots 2  (2)`

`-` Vì `p` là số nguyên tố `>5 => p≡1` hoặc `≡2 (mod 3)`

`+` Với `p≡1 (mod 3)`

`=> p^4≡1 (mod  3)`

`=> p^4-1≡0 (mod 3)`

`+` Với `p≡2 (mod 3)`

`=> p^4 ≡1 (mod 3)`

`=> p^4-1 ≡0 (mod 3)`

Vậy `p^4-1≡0 (mod 3)` hay `p^4-1 vdots 3  (3)`

`-` Vì `p` là số nguyên tố `>5 => p≡1,2,3` hoặc `4 (mod 5)`

`+` Với `p≡1 (mod 5)`

`=> p^4≡1 (mod  5)`

`=> p^4-1≡0 (mod 5)`

`+` Với `p≡2 (mod 5)`

`=> p^4≡1 (mod  5)`

`=> p^4-1≡0 (mod 5)`

`+` Với `p≡3 (mod 5)`

`=> p^4≡1 (mod  5)`

`=> p^4-1≡0 (mod 5)`

`+` Với `p≡4 (mod 5)`

`=> p^4≡1 (mod  5)`

`=> p^4-1≡0 (mod 5)`

Vậy `p^4-1 ≡0 (mod 5)` hay `p^4-1 vdots 5  (4)`

Từ `(1),(2),(3) và (4) => p^4-1 vdots 240`

Vậy `(p^4-1) vdots 240  (a)`

`@` Ta cần chứng minh `q^4-1 vdots 240`

`-` Do `q` là số nguyên tố `>5` 

`=> q` là lẻ

`- q^4-1= (q-1)(q+1)(q^2+1)`

`=> (q-1)(q+1) vdots 8 => q^4-1 vdots 8  (1)`

`=> q^4-1 vdots 2  (2)`

`-` Vì `q` là số nguyên tố `>5 => q≡1` hoặc `≡2 (mod 3)`

`+` Với `q≡1 (mod 3)`

`=> q^4≡1 (mod  3)`

`=> q^4-1≡0 (mod 3)`

`+` Với `q≡2 (mod 3)`

`=> q^4 ≡1 (mod 3)`

`=> q^4-1 ≡0 (mod 3)`

Vậy `q^4-1≡0 (mod 3)` hay `q^4-1 vdots 3  (3)`

`-` Vì `q` là số nguyên tố `>5 => q≡1,2,3` hoặc `4 (mod 5)`

`+` Với `q≡1 (mod 5)`

`=> q^4≡1 (mod  5)`

`=> q^4-1≡0 (mod 5)`

`+` Với `q≡2 (mod 5)`

`=> q^4≡1 (mod  5)`

`=> q^4-1≡0 (mod 5)`

`+` Với `q≡3 (mod 5)`

`=> q^4≡1 (mod  5)`

`=> q^4-1≡0 (mod 5)`

`+` Với `q≡4 (mod 5)`

`=> q^4≡1 (mod  5)`

`=> q^4-1≡0 (mod 5)`

Vậy `q^4-1 ≡0 (mod 5)` hay `q^4-1 vdots 5  (4)`

Từ `(1),(2),(3) và (4) => q^4-1 vdots 240`

Vậy `(q^4-1) vdots 240  (b)`

Từ `(a) và (b) => (p^4-1)-(q^4-1) vdots 240`

Hay `(p^4)-(q^4) vdots 240 (đpcm)`