Đáp án + Giải thích các bước giải:

$g(x) = f(x^2 - x) + 2024$

$\Rightarrow g'(x) = (x^2 - x)'f'(x^2 - x)$

$= (2x - 1)f'(x^2 - x)$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=-2\\x=0\\x=2\end{array} \right.\) 

$g'(x) =0  \Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}2x-1=0\\f'(x^2 - x) = 0\end{array} \right.\) 

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2} \\ x^2 - x = -2 \\ x^2 - x = 0 \\ x^2 - x = 2\end{array} \right.\) 

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2} \\ x^2 - x + 2 = 0 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ x^2 - x - 2 = 0\end{array} \right.\) 

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2} \\ x = 0 \\ x = 1 \\ x = -1 \\ x = 2\end{array} \right.\) 

Xét dấu $g'(x)$ trên từng khoảng:

$-$ Với $x \in (-\infty; -1)$: $\begin {cases} 2x - 1 < 0 \\ x^2 - x > 2 \Rightarrow f'(x^2 - x) > 0 \end {cases} \Rightarrow g'(x) < 0$

$-$ Với $x \in (-1; 0)$: $\begin {cases} 2x - 1 < 0 \\ 0 < x^2 - x < 2 \Rightarrow f'(x^2 - x) < 0 \end {cases} \Rightarrow g'(x) > 0$

$-$ Với $x \in \bigg(0; \dfrac{1}{2}\bigg)$: $\begin {cases} 2x - 1 < 0 \\ -\dfrac{1}{4} < x^2 - x < 0 \Rightarrow f'(x^2 - x) > 0 \end {cases} \Rightarrow g'(x) < 0$

$-$ Với $x \in \bigg(\dfrac{1}{2}; 1\bigg)$: $\begin {cases} 2x - 1 > 0 \\ -\dfrac{1}{4} < x^2 - x < 0 \Rightarrow f'(x^2 - x) > 0 \end {cases} \Rightarrow g'(x) > 0$

$-$ Với $x \in (1; 2)$: $\begin {cases} 2x - 1 > 0 \\ 0 < x^2 - x < 2 \Rightarrow f'(x^2 - x) < 0 \end {cases} \Rightarrow g'(x) < 0$

$-$ Với $x \in (2; +\infty)$: $\begin {cases} 2x - 1 > 0 \\ x^2 - x > 2 \Rightarrow f'(x^2 - x) > 0 \end {cases} \Rightarrow g'(x) > 0$

$\Rightarrow$ Bảng biến thiên như ảnh dưới

Vậy các điểm cực trị của $g(x)$ là $(-1; f(2) + 2024), (0; f(0) + 2024); \bigg(\dfrac{1}{2}, f\bigg(-\dfrac{1}{4}\bigg) + 2024\bigg), (1; f(0) + 2024)$ và $(2; f(2) + 2024)$