Đáp án + Giải thích các bước giải:

Nhận xét: $(P)$ đi qua $A(\sqrt{3}; 0; 0)$

$\Rightarrow 5\sqrt{3} + p\sqrt{3} = 0$

$\Rightarrow p = -5$

$\Rightarrow (P): 5x + m\sqrt{3}y + n\sqrt{3}z - 5\sqrt{3} = 0$

Ta có: $(P): 5x + m\sqrt{3}y + n\sqrt{3}z - 5\sqrt{3} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{n} = (5; m\sqrt{3}; n\sqrt{3})$ là vector pháp tuyến của $(P)$

Mà $\overrightarrow{u} = (1; 0; 0)$ là vector chỉ phương của trục $Ox$

$\Rightarrow \sin ((P), Ox) = \dfrac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{n}|} =  \dfrac{|5|}{\sqrt{5^2 + (m\sqrt{3})^2 +(n\sqrt{3})^2}\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}$

$\Rightarrow \sin 30^o = \dfrac{5}{\sqrt{25 + 3m^2 + 3n^2}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{5}{\sqrt{25 + 3m^2 + 3n^2}} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{25 + 3m^2 + 3n^2} = 10$

$\Leftrightarrow 25 + 3m^2 + 3n^2 = 100$

$\Leftrightarrow m^2 + n^2 = 25$

Ta có: $(P)$ đi qua $D(0; 2; 1)$

$\Rightarrow 2m\sqrt{3} + n\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow 2m + n - 5 = 0$

$\Leftrightarrow 2m + n = 5$

$\Leftrightarrow 4m^2 + 4mn + n^2 = 25$

$\Leftrightarrow 4m^2 + 4mn + n^2 = m^2 + n^2$

$\Leftrightarrow 3m^2 + 4mn = 0$

$\Leftrightarrow m(3m + 4n) = 0$

Vì $m \ne 0 \Rightarrow 3m + 4n = 0$

$\Leftrightarrow m = -\dfrac{4}{3}n$

$\Rightarrow 2m + n = -\dfrac{5}{3}n = 5$

$\Leftrightarrow n = -3$

$\Leftrightarrow m = 4$

$\Rightarrow T = \dfrac{-1}{4 - 3 - 5} = 0,25$