Gọi `S(a;b;12)`

`=>vec(SA)=(-a;-b;-12)`

`vec(SB)=(4-a;-b;-12)`

`vec(SC)=(-a;3-b;-12)`

`S` nằm trong mặt phẳng `z=12`

`=>d_(S→(ABC))=12`

`S_(ABC)=1/2 AB.AC=1/2 .4.3=6`

`=>V_(S.ABC)=1/3 .6.12=24`

`=>AA S` nằm trong mặt phẳng `z=12` thì `V_(S.ABC)` luôn có thể tích là `24`

Vì `M,N` là trung điểm `AB, AC`

`=>2vec(SM)=vec(SA)+vec(SB)`

`2vec(SN)=vec(SA)+vec(SC)`

`=>4P=(vec(SA)+vec(SB))(vec(SA)+vec(SC))`

`4P=vec(SA)^2+vec(SA).vec(SC)+vec(SB).vec(SC)+vec(SA).vec(SB)`

`4P=(a^2+b^2+144)+[a^2+b(b-3)+144]+[a(a-4)+b(b-3)+144]+[a(a-4)+b^2+144]`

`4P=4a^2-8a+4b^2-8b+4.144`

`P=a^2-2a+b^2-2b+144`

`P=(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+142`

`P=(a-1)^2+(b-1)^2+142≥142`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a=b=1`

Vậy `P_(min)=vec(SM).vec(SN)=142` khi `S` có toạ độ là `(1;1;12)`

`- \text{Lamtoanbangcatinhmang} -`