`x^3+6x^2+13x+10=(6-x^2)\sqrt{5-x^2}`

ĐK: `5-x^2>=0`

`<=>x^2<=5<=>-\sqrt{5}<=x<=\sqrt{5}`

Phương trình đã cho tương đương:

`(x^3+6x^2+12x+8)+(x+2)=(6-x^2)\sqrt{5-x^2}`

`<=>(x^3+3*x^2*2+3*x*2^2+2^3)+(x+2)=[(5-x^2)+1]\sqrt{5-x^2}`

`<=>(x+2)^3+(x+2)=(5-x^2)\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-x^2}`

`<=>(x+2)^3+(x+2)=(\sqrt{5-x^2})^3+\sqrt{5-x^2}`

Đặt: `x+2=a,b=\sqrt{5-x^2}` ta được phương trình: 

`a^3+a=b^3+b`

`<=>a^3-b^3+a-b=0`

`<=>(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)=0`

`<=>(a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0`

`<=>a-b=0` hoặc `a^2+ab+b^2+1=0`

`<=>a=b` hoặc `(a^2+2*a*1/2b+1/4b^2)+3/4b^2+1=0`

`<=>a=b` hoặc `(a+1/2b)^2+3/4b^2+1=0`

`<=>a=b` hoặc `(a+1/2b)^2+3/4b^2=-1` (vô lý)`

`->a=b`

`->x+2=\sqrt{5-x^2}(x>=-2)`

`<=>(x+2)^2=5-x^2`

`<=>x^2+4x+4=5-x^2`

`<=>2x^2+4x-1=0`  

`\Delta=4^2-4*2*(-1)=24>0` 

`x=(-4+\sqrt{24})/4=(-2+\sqrt{6})/2` hoặc `x=(-4-\sqrt{24})/4=(-2-\sqrt{6})/2`

So với điều kiện thì ta nhận nghiệm `x=(-2+\sqrt{6})/2`

Vậy: `S={(-2+\sqrt{6})/2}`